По кругу выписаны 30 натуральных чисел (не обязательно различных). Известно, что в любых трёх идущих подряд числах найдётся число, которое больше суммы двух других. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех 30 чисел.

Разобьём числа на 10 непересекающихся троек, идущих подряд. В каждой тройке одно из чисел больше суммы двух остальных. Так как натуральные числа не меньше 1, это число не меньше 3.

Значит, сумма каждой тройки не меньше \(3+1+1=5\), поэтому сумма всех чисел не меньше \(10\cdot 5=50\).

Эта оценка достижима: расположим по кругу последовательность \(1,1,3\), повторённую 10 раз. В любой тройке подряд встретится число 3, а \(3>1+1\). Сумма всех чисел равна \(10\cdot(1+1+3)=50\).

Ответ: 50.