По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определите скорости движения точек.

Решение: Пусть $$v_1$$ - скорость первой точки, а $$v_2$$ - скорость второй точки. Пусть $$v_1 > v_2$$. Длина окружности $$L = 60$$ м. Время между совпадениями $$T = 1$$ мин = 60 с. Тогда, когда первая точка догоняет вторую, она проходит на один круг больше. Значит, \[v_1 T - v_2 T = L\] \[(v_1 - v_2) T = L\] \[v_1 - v_2 = \frac{L}{T} = \frac{60}{60} = 1 \text{ м/с}\] Первая точка совершает полный оборот за время $$t_1 = \frac{L}{v_1}$$, а вторая точка за время $$t_2 = \frac{L}{v_2}$$. По условию, $$t_2 - t_1 = 5$$ с. \[\frac{L}{v_2} - \frac{L}{v_1} = 5\] \[L(\frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_1}) = 5\] \[L(\frac{v_1 - v_2}{v_1 v_2}) = 5\] \[60 \cdot \frac{1}{v_1 v_2} = 5\] \[v_1 v_2 = \frac{60}{5} = 12 \text{ (м/с)}^2\] Теперь у нас есть система уравнений: \begin{cases} v_1 - v_2 = 1 \\ v_1 v_2 = 12 \end{cases} Выразим $$v_1$$ из первого уравнения: $$v_1 = v_2 + 1$$. Подставим во второе уравнение: \[(v_2 + 1) v_2 = 12\] \[v_2^2 + v_2 - 12 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[D = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49\] \[v_{2_1} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ м/с}\] \[v_{2_2} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \text{ м/с}\] Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v_2 = 3$$ м/с. Тогда $$v_1 = v_2 + 1 = 3 + 1 = 4$$ м/с. Ответ: скорости точек 3 м/с и 4 м/с. Развернутый ответ: В этой задаче нам дано, что две точки двигаются по окружности с разной скоростью. Мы должны определить их скорости. Сначала мы выразили разницу скоростей через длину окружности и время между совпадениями. Затем мы использовали информацию о том, что одна из точек делает полный оборот на 5 секунд быстрее другой. Это позволило нам получить второе уравнение, связывающее скорости. Решив систему уравнений, мы нашли скорости обеих точек. Важно помнить, что скорость не может быть отрицательной, поэтому мы выбрали только положительное решение.