58 По полу рассыпали содержимое коробки, в которой было 100 канцелярских кнопок. Каково математическое ожидание числа «опасных» кнопок, лежащих остриём вверх, если вероятность падения кнопки остриём вверх равна 0,45? 69 Игральную кость бросили 120 раз. Найдите математическое ожидание слу- чайной величины: а) «выпавшее число очков делится на 3»; б) «выпала пятёрка».

Решение задачи 58

Математическое ожидание (M) - это среднее значение случайной величины. В данном случае, чтобы найти математическое ожидание числа «опасных» кнопок, нужно умножить общее количество кнопок на вероятность того, что кнопка лежит остриём вверх.

Дано:

• Общее количество кнопок: 100
• Вероятность (p) падения кнопки остриём вверх: 0,45

Решение:

\[ M = \text{количество кнопок} \times \text{вероятность} \]

\[ M = 100 \times 0.45 \]

\[ M = 45 \]

Ответ: Математическое ожидание числа «опасных» кнопок равно 45.

Решение задачи 69

а) Вероятность, что выпавшее число очков делится на 3 (то есть 3 или 6) равна 2/6 = 1/3.

\[ M = \text{количество бросков} \times \text{вероятность} \]

\[ M = 120 \times \frac{1}{3} \]

\[ M = 40 \]

б) Вероятность, что выпала пятёрка, равна 1/6.

\[ M = \text{количество бросков} \times \text{вероятность} \]

\[ M = 120 \times \frac{1}{6} \]

\[ M = 20 \]

Ответ:

• a) Математическое ожидание равно 40.
• б) Математическое ожидание равно 20.

Проверка за 10 секунд: В задаче 58 математическое ожидание равно 45, в задаче 69 а) - 40, б) - 20.

Читерский прием: Если вероятность события известна, математическое ожидание всегда равно произведению количества испытаний на эту вероятность. Это позволяет быстро оценить среднее значение.