по признаку Даламбера

Решение:

Для определения сходимости ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) по признаку Даламбера, необходимо найти предел отношения последующего члена ряда к предыдущему: \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \).

В данном случае \( a_n = n^2 \text{arctg} \left( \frac{1}{n} \right) \).

Найдем \( a_{n+1} \):

\( a_{n+1} = (n+1)^2 \text{arctg} \left( \frac{1}{n+1} \right) \).

Теперь вычислим отношение \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):

\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2 \text{arctg} \left( \frac{1}{n+1} \right)}{n^2 \text{arctg} \left( \frac{1}{n} \right)} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^2 \cdot \frac{\text{arctg} \left( \frac{1}{n+1} \right)}{\text{arctg} \left( \frac{1}{n} \right)} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2 \cdot \frac{\text{arctg} \left( \frac{1}{n+1} \right)}{\text{arctg} \left( \frac{1}{n} \right)} \).

Рассмотрим предел при \( n \to \infty \). Известно, что \( \text{arctg}(x) \to x \) при \( x \to 0 \). Поэтому, при \( n \to ∞ \), \( \frac{1}{n} \to 0 \) и \( \frac{1}{n+1} \to 0 \).

Используем эквивалентные замены:

\( \text{arctg} \left( \frac{1}{n} \right) ∼ \frac{1}{n} \) и \( \text{arctg} \left( \frac{1}{n+1} \right) ∼ \frac{1}{n+1} \).

Тогда отношение принимает вид:

\( \frac{a_{n+1}}{a_n} ∼ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2 \cdot \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2 \cdot \frac{n}{n+1} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{n} \).

Теперь найдем предел:

\( L = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = 1 + 0 = 1 \).

По признаку Даламбера, если \( L = 1 \), признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак сходимости.

Примечание: Признак Даламбера не применим, когда предел равен 1. В данном случае, поскольку \( L=1 \), признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.