4. По рис. 4, докажите, что \(O\) – середина \(BD\).

Дано: \(AB = BC\) и \(AD = DC\). Доказать: \(O\) - середина \(BD\). 1. Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\): \(AB = BC\) (дано), \(AD = DC\) (дано), \(BD\) - общая сторона. Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle CBD\) по трем сторонам (ССС). 2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle ABD = \angle CBD\). Это означает, что \(BO\) - биссектриса угла \(ABD\). 3. Рассмотрим \(\triangle ABO\) и \(\triangle CBO\): \(AB = BC\) (дано), \(\angle ABO = \angle CBO\) (\(BO\) - биссектриса), \(BO\) - общая сторона. Следовательно, \(\triangle ABO = \triangle CBO\) по двум сторонам и углу между ними (САС). 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \(AO = CO\). 5. Теперь рассмотрим \(\triangle AOD\) и \(\triangle COD\): \(AD = DC\) (дано), \(AO = CO\) (доказано выше), \(OD\) - общая сторона. Следовательно, \(\triangle AOD = \triangle COD\) по трем сторонам (ССС). 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle AOD = \angle COD\). Поскольку углы \(\angle AOD\) и \(\angle COD\) смежные и равны, каждый из них равен \(90^\circ\). Таким образом, \(AC \perp BD\). 7. Так как \(\triangle ABD = \triangle CBD\), \(BO\) является биссектрисой и высотой в равнобедренном \(\triangle ABD\), то \(BO\) также является и медианой. Следовательно, \(O\) - середина \(BD\). Вывод: \(O\) – середина \(BD\).