3. По рис. 93 найдите площадь вписанного круга с центром в точке О. 4. По рис. 94 найдите периметр правильного описанного шестиугольника ABCDEF с центром в точке О, если KLMN — правильный вписанный четырехугольник. 5. По рис. 95 найдите площадь заштрихованной фигуры (точка О — центр окружности). 1. По рис. 96 найдите количество сторон правильного п-угольника А₁А₂...Аₙ с центром в точке О.

Решение задачи 3:

Давай решим эту задачу по шагам. Нам нужно найти площадь вписанного круга в треугольник.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны треугольника, радиусом вписанной окружности и отрезком от центра окружности до вершины треугольника. Обозначим сторону треугольника как a, а радиус вписанной окружности как r.

2. Из рисунка видно, что половина стороны треугольника равна \( 5\sqrt{3} \), то есть \( \frac{a}{2} = 5\sqrt{3} \).

3. Так как треугольник равносторонний, все его углы равны 60 градусам. Значит, угол между радиусом и отрезком от центра до вершины равен 30 градусам.

4. Используем тангенс угла в 30 градусов: \( tg(30^\circ) = \frac{r}{\frac{a}{2}} \). Мы знаем, что \( tg(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

5. Подставим известные значения: \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r}{5\sqrt{3}} \). Отсюда находим радиус: \( r = 5 \).

6. Теперь найдем площадь круга по формуле \( S = \pi r^2 \): \( S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \).

Ответ: Площадь вписанного круга равна \( 25\pi \).

---

Решение задачи 4:

Давай найдем периметр правильного описанного шестиугольника.

1. Дан правильный вписанный четырехугольник KLMN, который является квадратом. Сторона квадрата равна \( 4\sqrt{6} \).

2. Радиус окружности, описанной около квадрата, можно найти как половину диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна \( a\sqrt{2} \), где a - сторона квадрата. Значит, диагональ равна \( 4\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{12} = 8\sqrt{3} \).

3. Радиус окружности равен половине диагонали: \( R = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \).

4. Теперь рассмотрим правильный описанный шестиугольник. Его сторона связана с радиусом описанной окружности как \( a_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}} \), где \( a_6 \) - сторона шестиугольника.

5. Подставим значение радиуса: \( a_6 = \frac{2 \cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8 \).

6. Периметр шестиугольника равен \( 6 \cdot a_6 = 6 \cdot 8 = 48 \).

Ответ: Периметр правильного описанного шестиугольника равен 48.

---

Решение задачи 5:

Давай вычислим площадь заштрихованной фигуры.

1. Площадь заштрихованной фигуры состоит из площади сектора и площади круга.

2. Найдем площадь большого круга. Радиус большого круга равен \( 6\sqrt{3} \). Площадь круга: \( S_{кр} = \pi r^2 = \pi (6\sqrt{3})^2 = 108\pi \).

3. Найдем площадь сектора. Угол сектора равен 240 градусам. Площадь сектора: \( S_{сект} = \frac{240}{360} \cdot S_{кр} = \frac{2}{3} \cdot 108\pi = 72\pi \).

4. Теперь найдем площадь малого круга. Заметим, что диаметр малого круга равен радиусу большого круга, то есть \( d = 6\sqrt{3} \), а радиус малого круга равен \( r = 3\sqrt{3} \).

5. Площадь малого круга: \( S_{мал.кр} = \pi r^2 = \pi (3\sqrt{3})^2 = 27\pi \).

6. Площадь заштрихованной фигуры равна сумме площади сектора и площади малого круга: \( S = S_{сект} + S_{мал.кр} = 72\pi + 27\pi = 99\pi \).

Ответ: Площадь заштрихованной фигуры равна \( 99\pi \).

---

Решение задачи 1 (вариант 4):

Давай определим количество сторон правильного n-угольника.

1. Сумма углов правильного n-угольника равна \( (n-2) \cdot 180^\circ \). Каждый угол правильного n-угольника равен \( \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \).

2. Из рисунка видно, что угол \( \angle A_1OA_2 = \alpha \), а угол \( \angle A_1A_nA_2 = 4\alpha \).

3. Сумма всех углов вокруг точки O равна 360 градусам. Значит, \( n \cdot \alpha = 360^\circ \), откуда \( \alpha = \frac{360^\circ}{n} \).

4. Угол \( \angle A_1A_nA_2 \) является углом правильного n-угольника, поэтому \( 4\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \).

5. Подставим \( \alpha = \frac{360^\circ}{n} \) в уравнение: \( 4 \cdot \frac{360^\circ}{n} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \).

6. Упростим уравнение: \( 1440 = 180(n-2) \), \( 8 = n-2 \), \( n = 10 \).

Ответ: Количество сторон правильного n-угольника равно 10.

Отлично! Ты справился со всеми задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!