По выборке объема n из нормального распределения с известной дисперсией s^2 строится доверительный интервал для математического ожидания. Если объем выборки увеличить в 25 раз, длина доверительного интервала __ раз

Решение:

Длина доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии определяется формулой:

\( L = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \)

где:

• \( L \) — длина доверительного интервала;
• \( z_{\alpha/2} \) — квантиль нормального распределения для заданного уровня доверия \( 1-\alpha \);
• \( s \) — стандартное отклонение выборки;
• \( n \) — объем выборки.

Из формулы видно, что длина доверительного интервала обратно пропорциональна квадратному корню из объема выборки \( \sqrt{n} \).

Если объем выборки \( n \) увеличить в 25 раз, то новый объем выборки будет \( n' = 25n \).

Новая длина доверительного интервала \( L' \) будет:

\[ L' = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n'}} = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{25n}} = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{5\sqrt{n}} = \frac{1}{5} \left( 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right) = \frac{1}{5} L \]

Таким образом, если объем выборки увеличивается в 25 раз, длина доверительного интервала уменьшается в 5 раз.

Ответ: уменьшится в 5