07.10. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: a) ctg t = 12/5, π < t < 3π/2; б) ctg t = 7/24, 0 < t < π/2; в) ctg t = -5/12, 3π/2 < t < 2π; г) ctg t = -8/15, π/2 < t < π.

Привет! Разберёмся с тригонометрией!

Нам нужно найти значения остальных тригонометрических функций, зная котангенс и интервал, в котором находится угол t. Используем основные тригонометрические тождества и учитываем знаки функций в разных квадрантах.

a) ctg t = 12/5, π < t < 3π/2;

Угол t находится в III квадранте, где sin t < 0, cos t < 0, tan t > 0.

1. Найдем tan t: tan t = 1 / ctg t = 1 / (12/5) = 5/12.

2. Найдем sin t и cos t. Сначала найдем sin²t и cos²t, используя тождество 1 + ctg²t = 1 / sin²t:

   1 + (12/5)² = 1 / sin²t

   1 + 144/25 = 1 / sin²t

   169/25 = 1 / sin²t

   sin²t = 25/169

   sin t = ±5/13. Так как t в III квадранте, sin t = -5/13.

3. Теперь найдем cos t, используя ctg t = cos t / sin t:

   cos t = ctg t * sin t = (12/5) * (-5/13) = -12/13.

Ответ: sin t = -5/13, cos t = -12/13, tan t = 5/12.

б) ctg t = 7/24, 0 < t < π/2;

Угол t находится в I квадранте, где все тригонометрические функции положительны.

1. Найдем tan t: tan t = 1 / ctg t = 1 / (7/24) = 24/7.

2. Найдем sin t и cos t, используя тождество 1 + ctg²t = 1 / sin²t:

   1 + (7/24)² = 1 / sin²t

   1 + 49/576 = 1 / sin²t

   625/576 = 1 / sin²t

   sin²t = 576/625

   sin t = ±24/25. Так как t в I квадранте, sin t = 24/25.

3. Теперь найдем cos t, используя ctg t = cos t / sin t:

   cos t = ctg t * sin t = (7/24) * (24/25) = 7/25.

Ответ: sin t = 24/25, cos t = 7/25, tan t = 24/7.

в) ctg t = -5/12, 3π/2 < t < 2π;

Угол t находится в IV квадранте, где sin t < 0, cos t > 0, tan t < 0.

1. Найдем tan t: tan t = 1 / ctg t = 1 / (-5/12) = -12/5.

2. Найдем sin t и cos t, используя тождество 1 + ctg²t = 1 / sin²t:

   1 + (-5/12)² = 1 / sin²t

   1 + 25/144 = 1 / sin²t

   169/144 = 1 / sin²t

   sin²t = 144/169

   sin t = ±12/13. Так как t в IV квадранте, sin t = -12/13.

3. Теперь найдем cos t, используя ctg t = cos t / sin t:

   cos t = ctg t * sin t = (-5/12) * (-12/13) = 5/13.

Ответ: sin t = -12/13, cos t = 5/13, tan t = -12/5.

г) ctg t = -8/15, π/2 < t < π.

Угол t находится во II квадранте, где sin t > 0, cos t < 0, tan t < 0.

1. Найдем tan t: tan t = 1 / ctg t = 1 / (-8/15) = -15/8.

2. Найдем sin t и cos t, используя тождество 1 + ctg²t = 1 / sin²t:

   1 + (-8/15)² = 1 / sin²t

   1 + 64/225 = 1 / sin²t

   289/225 = 1 / sin²t

   sin²t = 225/289

   sin t = ±15/17. Так как t во II квадранте, sin t = 15/17.

3. Теперь найдем cos t, используя ctg t = cos t / sin t:

   cos t = ctg t * sin t = (-8/15) * (15/17) = -8/17.

Ответ: sin t = 15/17, cos t = -8/17, tan t = -15/8.

Вот и все! Если у тебя возникнут еще вопросы, обращайся!