По заданным радиусам R и г, а также расстоянию между центрами От и О2 двух окружностей определите их взаимное расположение, количество общих точек и общих касательных.

Решение:

1) \(O_1O_2 = 18\), \(R + r = 21 + 5 = 26\), \(R - r = 21 - 5 = 16\). Итак, \(16 < 18 < 26\), т. е. \(R - r < O_1O_2 < R + r\).

Следовательно, окружности имеют 2 общих точки, значит, две общих касательных.

2) \(O_1O_2 = 36\), \(R + r = 18 + 18 = 36\), \(R - r = 18 - 18 = 0\). Итак, \(0 < 36 = 36\), т. е. \(R - r < O_1O_2 = R + r\).

Следовательно, окружности имеют одну точку, касаются внешним образом, а потому имеют одну общих касательных.

3) \(O_1O_2 = 0\), \(R + r = 12 + 7 = 19\). Итак, \(0 < 19\), т. е. \(O_1O_2 < R + r\), окружности имеют общий центр.

Следовательно, окружности совпадают, а потому имеют бесконечное множество общих касательных.

4) \(O_1O_2 = 27\), \(R + r = 21 + 14 = 35\), \(R - r = 21 - 14 = 7\). Итак, \(7 < 27 < 35\), т. е. \(R - r < O_1O_2 < R + r\).

Следовательно, окружности имеют 2 общих точки, а потому две общих касательных.