По значению одной из тригонометрических функций (sin a cos a, tg a, ctg a) найти значения остальных трёх: 1) cos a = 5 и 3π < α <2 < 2π; 13 2 2) sin a = 0,8 и < α < π; 15 ил < α <3π; 4) ctg a = -3 и (3) tg a = 8 2 2 3π < α < 2π

Решение: 1) Дано: $$cos \alpha = \frac{5}{13}$$ и $$\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$. Найдем значения остальных тригонометрических функций: * Синус: Так как $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$, то $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$. Следовательно, $$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$$. Учитывая, что $$\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$, синус отрицательный в этом промежутке, значит, $$\sin \alpha = -\frac{12}{13}$$. * Тангенс: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}$$. * Котангенс: $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{-\frac{12}{5}} = -\frac{5}{12}$$. Ответ: $$\sin \alpha = -\frac{12}{13}$$, $$\tan \alpha = -\frac{12}{5}$$, $$\cot \alpha = -\frac{5}{12}$$. 2) Дано: $$\sin \alpha = 0,8 = \frac{4}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$. Найдем значения остальных тригонометрических функций: * Косинус: Так как $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$, то $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$. Следовательно, $$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$$. Учитывая, что $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$, косинус отрицательный в этом промежутке, значит, $$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$. * Тангенс: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$$. * Котангенс: $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}$$. Ответ: $$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$, $$\tan \alpha = -\frac{4}{3}$$, $$\cot \alpha = -\frac{3}{4}$$. 3) Дано: $$\tan \alpha = \frac{15}{8}$$ и $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$. Найдем значения остальных тригонометрических функций: * Котангенс: $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{15}{8}} = \frac{8}{15}$$. * Синус: Так как $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$, то $$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha$$. $$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \tan^2 \alpha = 1 + \left(\frac{15}{8}\right)^2 = 1 + \frac{225}{64} = \frac{289}{64}$$. $$\cos^2 \alpha = \frac{64}{289}$$, следовательно, $$\cos \alpha = \pm\frac{8}{17}$$. Учитывая, что $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$, косинус отрицательный в этом промежутке, значит, $$\cos \alpha = -\frac{8}{17}$$. $$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{15}{8} \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) = -\frac{15}{17}$$. Ответ: $$\sin \alpha = -\frac{15}{17}$$, $$\cos \alpha = -\frac{8}{17}$$, $$\cot \alpha = \frac{8}{15}$$. 4) Дано: $$\cot \alpha = -3$$ и $$\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$. Найдем значения остальных тригонометрических функций: * Тангенс: $$\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$$. * Косинус: Так как $$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$, то $$\cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha$$. $$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \cot^2 \alpha = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$$. $$\sin^2 \alpha = \frac{1}{10}$$, следовательно, $$\sin \alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$$. Учитывая, что $$\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$, синус отрицательный в этом промежутке, значит, $$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$. $$\cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha = -3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$. Ответ: $$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$, $$\cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$, $$\tan \alpha = -\frac{1}{3}$$.