Под действием постоянной горизонтальной силы $\vec F$ кран массой $M=1$ кг движется по прямой горизонтальной поверхности стола. По шероховатой поверхности клина, составляющей угол $\alpha=30^\circ$ с горизонтом, равномерно (относительно клина) скользит вниз брусок массой $m=0{,}2$ кг. Коэффициент трения между бруском и клином $\mu=0{,}6$. Найдите модуль ускорения крана. Сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте рисунок к условиям задачи и обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Question

Вопрос: $Фото задания: Под действием постоянной горизонтальной силы $\vec F$ кран массой $M=1$ кг движется по прямой горизонтальной…$ Фото задания

Под действием постоянной горизонтальной силы $\vec F$ кран массой $M=1$ кг движется по прямой горизонтальной поверхности стола. По шероховатой поверхности клина, составляющей угол $\alpha=30^\circ$ с горизонтом, равномерно (относительно клина) скользит вниз брусок массой $m=0{,}2$ кг. Коэффициент трения между бруском и клином $\mu=0{,}6$. Найдите модуль ускорения крана. Сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте рисунок к условиям задачи и обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Accepted Answer

Будем считать, что клин неподвижно закреплён на кране, а сила трения скольжения направлена вдоль поверхности против движения бруска. Клин наклонён вверх вправо; брусок скользит вниз по наклонной поверхности. Тогда ускорение крана направлено влево, чтобы горизонтальная составляющая силы тяжести в системе крана компенсировалась инерционной силой.

Рассмотрим движение в системе отсчёта, связанной с краном. Поскольку кран ускоряется, эта система неинерциальная; для применения второго закона Ньютона добавим бруску инерционную силу, направленную противоположно ускорению крана. Если ускорение крана имеет модуль $a$ и направлено влево, инерционная сила направлена вправо.

Перпендикулярно плоскости клина ускорения бруска нет. Проекция сил даёт $N=m(g\cos\alpha-a\sin\alpha)$, так как инерционная сила уменьшает прижатие бруска к клину.
Вдоль плоскости брусок покоится относительно клина. Проекции силы тяжести и инерционной силы вниз по плоскости, а также трения вверх по плоскости дают $mg\sin\alpha+ma\cos\alpha=\mu N$.
Подставим выражение для реакции опоры: $g\sin\alpha+a\cos\alpha=\mu(g\cos\alpha-a\sin\alpha)$. Отсюда $a=g\dfrac{\mu\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}$.
Подставим $\mu=0.6$, $\alpha=30^\circ$: $a=g\dfrac{0.6\cos30^\circ-\sin30^\circ}{\cos30^\circ+0.6\sin30^\circ}\approx0.084g\approx0.82\ \text{м/с}^2$ при $g=9.8\ \text{м/с}^2$.

Применимость второго закона Ньютона обеспечивается рассмотрением сил в инерциальной системе отсчёта либо учётом инерционной силы в системе крана. Нормальная реакция перпендикулярна поверхности, а сила трения скольжения равна $\mu N$ и направлена против относительного скольжения. Масса крана для нахождения ускорения не нужна: задано, что брусок остаётся неподвижным относительно клина, и это условие определяет ускорение системы.

Ответ: модуль ускорения крана $a\approx0.82\ \text{м/с}^2$, направление — влево.