Под каким углом из вакуума должен падать световой луч на поверхность вещества с показателем преломления, равным корню из трех, чтобы угол преломления был в 2 раза меньше угла падения?

Используем закон Снеллиуса: $$n_1 ext{sin}(\alpha) = n_2 ext{sin}(\beta)$$.
Дано: $$n_1 = 1$$ (вакуум), $$n_2 = \sqrt{3}$$, $$\beta = \alpha / 2$$.
Подставляем в закон Снеллиуса: $$1 \cdot \text{sin}(\alpha) = \sqrt{3} \text{sin}(\alpha / 2)$$.
Используя формулу синуса половинного угла $$\text{sin}(\alpha) = 2 \text{sin}(\alpha / 2) \text{cos}(\alpha / 2)$$, получаем: $$2 \text{sin}(\alpha / 2) \text{cos}(\alpha / 2) = \sqrt{3} \text{sin}(\alpha / 2)$$.
Сокращая $$\text{sin}(\alpha / 2)$$ (предполагая, что $$\alpha
eq 0$$), получаем $$2 \text{cos}(\alpha / 2) = \sqrt{3}$$, откуда $$\text{cos}(\alpha / 2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.
Следовательно, $$\alpha / 2 = 30^\circ$$, и $$\alpha = 60^\circ$$.