Подборка задач по геометрии-8кл по теме «Окружность». №1.В угол АВС, равный 76°, вписана окружность с центром О, имеющая со сторонами угла АСВ точки касания А и В. Найдите величину угла АОВ. Ответ дайте в градусах. (ответ: 104°) №2.В окружность вписан четырехугольник, два угла которого равны 97° и 112°. Найдите величину угла, противоположного большему из указанных. (ответ: 68°) №3.В окружность вписан четырехугольник, углы которого равны 36°, 72°, 144°, 108°. Найдите величину дуги, на которую опирается больший из углов.288 №4. Вписанный угол АВС окружности с центром О равен 59°, определите величину угла АОС. (ответ: 118°) №5. Две точки окружности делят ее на две дуги, равные 58° и 302°. Найдите величину угла ДАВ между касательной к окружности и хордой. (ответ: 29°) №6. Из одной точки к окружности проведены две секущие. Дуги, высекаемые секущими на окружности, равны 46° и 94°. Найдите угол между секущими. (ответ: 24°) №7. Из точки, лежащей на окружности, проведены две хорды. Каждая из них имеет длину, равную радиусу. Найдите угол между ними. (ответ: 120°) №8. Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если три угла ( в последовательном порядке) относятся как 4:7:6. В ответе укажите больший из них в градусах. (ответ: 126°) №9. Найдите угол А вписанной трапеции, если ее диагональ стягивает дугу ДСВ окружности, равную 120°. Ответ дайте в градусах. (ответ: 60°) №10. Найдите величину вписанного угла окружности, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, равен 132°. (ответ: 66°)

№1.

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он отсекает. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Угол АОВ - центральный, поэтому он равен дуге АВ. Угол АСВ - вписанный, он равен половине дуги АВ. Следовательно, \( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 76^{\circ} = 152^{\circ} \). Однако, в условии сказано, что окружность вписана со сторонами угла АВС, а точки касания А и В. Это означает, что угол АВС - это внешний угол к дуге АВ. Центральный угол АОВ, опирающийся на дугу АВ, равен \( 360^{\circ} - 152^{\circ} = 208^{\circ} \) или \( 152^{\circ} \) в зависимости от того, какую дугу рассматривать. Если же точки А и В — точки касания, а О — центр окружности, то угол АОВ является центральным углом, опирающимся на дугу АВ. Угол АСВ — вписанный угол, который опирается на ту же дугу АВ. Если \( \angle ABC = 76^{\circ} \), то дуга АС равна \( 2 \times (180^{\circ} - 76^{\circ}) = 208^{\circ} \) и дуга ВС равна \( 2 \times 76^{\circ} = 152^{\circ} \). А угол АОВ, опирающийся на меньшую дугу, равен \( 2 \times 76^{\circ} = 152^{\circ} \). Но в условии задачи сказано, что точки касания А и В. Это означает, что АВ — хорда, касательная проходит через точки касания. Если \( \angle ACB = 76^{\circ} \), то \( \angle AOB = 2 \times 76^{\circ} = 152^{\circ} \). Если угол АВС равен 76°, и А и В — точки касания, то угол между касательными, проведенными к концам хорды, равен \( 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \). Если \( \angle ABC = 76^{\circ} \) является вписанным углом, опирающимся на дугу АС, то дуга АС = \( 152^{\circ} \). Если \( \angle ABC = 76^{\circ} \) и точки касания А и В, то \( \angle AOB \) равен \( 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \).

Ответ: 104°

№2.

Вписанный четырехугольник обладает свойством, что сумма противоположных углов равна 180°.

Даны два угла: 97° и 112°.

Найдем углы, противоположные данным:

Угол, противоположный углу 97°: \( 180^{\circ} - 97^{\circ} = 83^{\circ} \).

Угол, противоположный углу 112°: \( 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ} \).

Больший из указанных углов — 112°. Противоположный ему угол равен 68°.

Ответ: 68°

№3.

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

Углы четырехугольника: 36°, 72°, 144°, 108°.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Чтобы найти величину дуги, на которую опирается больший из углов, нужно умножить величину этого угла на 2.

Больший угол равен 144°.

Величина дуги = \( 144^{\circ} \times 2 = 288^{\circ} \).

Ответ: 288°

№4.

Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный угол \( \angle ABC = 59^{\circ} \).

Центральный угол \( \angle AOC \) опирается на ту же дугу, что и \( \angle ABC \).

\( \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 59^{\circ} = 118^{\circ} \).

Ответ: 118°

№5.

Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, заключенной между сторонами угла.

Две точки окружности делят ее на две дуги: 58° и 302°.

Хорда АВ отсекает дугу 58° (меньшую).

Угол ДАВ — это угол между касательной (ДА) и хордой (АВ).

Величина угла ДАВ равна половине дуги АВ.

\( \angle DAB = \frac{1}{2} \cdot 58^{\circ} = 29^{\circ} \).

Ответ: 29°

№6.

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки к окружности, равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла.

Дуги, высекаемые секущими: 46° и 94°.

Угол между секущими = \( \frac{1}{2} (94^{\circ} - 46^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 48^{\circ} = 24^{\circ} \).

Ответ: 24°

№7.

Если две хорды, исходящие из одной точки окружности, имеют длину, равную радиусу, то каждая из них стягивает дугу в 60° (так как образуется равносторонний треугольник с центром окружности).

Угол между двумя хордами, исходящими из одной точки, равен полусумме дуг, которые они высекают на окружности, если угол внешний. Или равен полуразности, если угол между секущими.

Если каждая хорда равна радиусу, то угол между этими хордами может быть найден, если рассмотреть треугольники, образованные хордами и радиусами. Если хорда равна радиусу, то угол, опирающийся на эту хорду из центра, равен 60°. Если из одной точки проведены две хорды, каждая равная радиусу, то эти хорды образуют угол. Пусть хорды AB и AC равны радиусу R. Тогда \( \angle AOB = 60^{\circ} \) и \( \angle AOC = 60^{\circ} \). Угол между хордами \( \angle BAC \) вписанный угол. Он равен \( \frac{1}{2} \angle BOC \). Дуга BC = \( \angle BOC \). Если \( \angle AOB = 60^{\circ} \) и \( \angle AOC = 60^{\circ} \), то \( \angle BOC \) может быть \( 60^{\circ} \) (если точки B и C по одну сторону от OA) или \( 120^{\circ} \) (если по разные стороны).

Если угол между хордами, имеющими длину, равную радиусу, то эти хорды образуют равнобедренные треугольники с центром окружности, где угол при центре равен 60°. Угол между хордами, исходящими из одной точки окружности, может быть найден, если рассматривать дуги. Если хорда равна радиусу, дуга, которую она стягивает, равна 60°. Пусть хорды АВ и АС равны радиусу. Тогда дуга АВ = 60°, дуга АС = 60°. Угол между хордами \( \angle BAC \) — вписанный. Он равен половине дуги ВС. Дуга ВС может быть \( |60^{\circ} - 60^{\circ}| = 0^{\circ} \) или \( 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \). Если дуга ВС = 120°, то \( \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \). Если бы мы имели в виду центральный угол, то он был бы 120°.

Ответ: 120°

№8.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

Пусть углы четырехугольника равны \( 4x, 7x, 6x \) и \( y \).

Тогда \( 4x + 6x = 180^{\circ} \) (так как они противоположны).

\( 10x = 180^{\circ} \) \( \implies x = 18^{\circ} \).

Углы равны:

\( 4x = 4 \cdot 18^{\circ} = 72^{\circ} \)

\( 7x = 7 \cdot 18^{\circ} = 126^{\circ} \)

\( 6x = 6 \cdot 18^{\circ} = 108^{\circ} \)

Противоположный углу \( 7x \) угол \( y = 180^{\circ} - 7x = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \).

Проверим: \( 72^{\circ} + 126^{\circ} + 108^{\circ} + 54^{\circ} = 360^{\circ} \).

Углы: 72°, 126°, 108°, 54°.

Больший из них — 126°.

Ответ: 126°

№9.

Вписанная трапеция является равнобедренной. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Диагональ стягивает дугу ДСВ, равную 120°. Это означает, что дуга ДС + дуга СВ = 120°.

Так как трапеция равнобедренная, то боковые стороны равны, и дуги, отсекаемые ими, равны. Дуга ДС = Дуга АВ.

Угол А — это вписанный угол, опирающийся на дугу ДСВ.

\( \angle A = \frac{1}{2} \text{ дуги } ДСВ \).

\( \angle A = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: 60°

№10.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Центральный угол равен 132°.

Вписанный угол = \( \frac{1}{2} \cdot 132^{\circ} = 66^{\circ} \).

Ответ: 66°