Подбрасывают три игральных кости. Наблюдаемые события: А – на трёх костях выпадут разные числа, В – хотя бы на одной из костей выпадет шестёрка. Вычислить условные вероятности

Решение:

Всего исходов при бросании трёх игральных костей: \( 6^3 = 216 \).

Событие А: На трёх костях выпадут разные числа.

• Количество исходов для события А: \( P_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \).
• Вероятность события А: \( P(A) = \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \).

Событие В: Хотя бы на одной из костей выпадет шестёрка.

• Проще найти вероятность противоположного события \( \bar{B} \): ни на одной кости не выпадет шестёрка.
• Количество исходов для \( \bar{B} \): \( 5^3 = 125 \).
• Вероятность события \( \bar{B} \): \( P(\bar{B}) = \frac{125}{216} \).
• Вероятность события В: \( P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216} \).

Событие A ∩ B: На трёх костях выпадут разные числа, и хотя бы на одной из костей выпадет шестёрка.

Рассмотрим два случая:

• Случай 1: Одна из костей - шестёрка, две другие - разные числа, не равные шести.
• Выбор позиции для шестёрки: 3 варианта.
• Выбор двух других разных чисел из оставшихся 5: \( P_5^2 = 5 · 4 = 20 \) вариантов.
• Количество исходов: \( 3 · 20 = 60 \).

Условная вероятность P(A|B): Вероятность события А при условии, что событие В произошло.

• \( P(A|B) = \frac{P(A ∩ B)}{P(B)} \).
• Сначала найдём \( P(A ∩ B) \).
• Количество исходов события A (разные числа) = 120.
• Из них те, где есть шестёрка:
• Общее число исходов с разными числами = 120.
• Число исходов с разными числами, НО БЕЗ шестёрки: \( P_5^3 = 5 · 4 · 3 = 60 \).
• Число исходов, где есть шестёрка И все числа разные = \( 120 - 60 = 60 \).
• \( P(A ∩ B) = \frac{60}{216} \).
• \( P(A|B) = \frac{60/216}{91/216} = \frac{60}{91} \).

Условная вероятность P(B|A): Вероятность события В при условии, что событие А произошло.

• \( P(B|A) = \frac{P(A ∩ B)}{P(A)} \).
• \( P(B|A) = \frac{60/216}{120/216} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} \).

Проверка вариантов ответа:

• a. \( \frac{30}{91} \)
• b. \( \frac{60}{91} \)
• c. нет верных ответов
• d. \( \frac{20}{91} \)

Наш расчет \( P(A|B) = \frac{60}{91} \) соответствует варианту b.

Ответ: b.