1. В 1820 году А. С. Пушкин был отправлен в ссылку на юг.
- Грамматическая основа: А. С. Пушкин был отправлен.
- Обстоятельство: в 1820 году (обстоятельство времени), на юг (обстоятельство места).
2. Я с бабушкой пришел в гимназию держать экзамен в приготовительный класс.
- Грамматическая основа: Я пришёл.
- Обстоятельство: с бабушкой (обстоятельство совместности), в гимназию (обстоятельство места).
3. Заяц выскочил из лесу и побежал полем.
- Грамматическая основа: Заяц выскочил и побежал.
- Обстоятельство: из лесу (обстоятельство места), полем (обстоятельство места).
4. Не быстро сбежав со ступенек, шла женщина мимо беседок.
- Грамматическая основа: Женщина шла.
- Обстоятельство: не быстро сбежав со ступенек (обстоятельство образа действия), мимо беседок (обстоятельство места).
5. Наша любимая скамейка почернела от времени в саду.
- Грамматическая основа: Скамейка почернела.
- Обстоятельство: от времени (обстоятельство причины), в саду (обстоятельство места).
Ответ: Выше представлен анализ предложений, где выделена грамматическая основа и обстоятельства с указанием их вида.