Разберем каждое слово по отдельности, чтобы найти и исправить ошибки, связанные с употреблением твердого знака.
Въюга – ошибок нет, твердый знак употреблен верно после приставки в- перед буквой ю.
Варенье – ошибок нет, мягкий знак употреблен верно в корне слова перед буквой е.
Наехал – ошибок нет, здесь нет условий для употребления ни твердого, ни мягкого знака.
Вьюн – ошибок нет, мягкий знак употреблен верно в корне слова перед буквой ю.
Сёжился – ошибок нет, здесь нет условий для употребления твердого знака, а после шипящих под ударением пишется ё.
Объявление – ошибок нет, твердый знак употреблен верно после приставки об- перед буквой ъ.
Подьём – ошибка! Правильно: подъём. Твердый знак употребляется после приставки под- перед буквой ём.
Братья – ошибок нет, мягкий знак употреблен верно в корне слова перед буквой я.
Печенье – ошибок нет, мягкий знак употреблен верно в корне слова перед буквой е.
Ответ: Подъём