Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Подготовительный вариант №2. 1. Решить уравнения: 1) 3^(10−2x) = 243; 2) (1/16)^(2x²+3x) = 4^(−x²); 3) 2 · 5^(x+3) − 150 ·…Фото задания

Ответ:

1. Решение уравнений

  1. Так как \(243=3^5\), приравниваем показатели: \(10-2x=5\). Тогда \(x=\frac52\).

  2. Представим обе части как степени числа 2: \(2^{-4(2x^2+3x)}=2^{-2x^2}\). Приравниваем показатели: \(-8x^2-12x=-2x^2\), откуда \(-6x(x+2)=0\). Поэтому \(x=0\) или \(x=-2\).

  3. Вынесем \(5^x\): \(2\cdot5^{x+3}-150\cdot5^x=5^x(2\cdot125-150)=100\cdot5^x\). Значит, \(100\cdot5^x=4\), то есть \(5^x=\frac1{25}=5^{-2}\). Следовательно, \(x=-2\).

  4. Положим \(t=27^x\), где \(t>0\). Получаем \(3t^2+5t-2=0\), или \((3t-1)(t+2)=0\). Положительный корень — \(t=\frac13=27^{-1/3}\), поэтому \(x=-\frac13\).

2. Решение неравенств

  1. Так как \(125=5^3\), а основание больше 1, сравниваем показатели: \(7x-11<3\). Следовательно, \(x<2\).

  2. Заметим, что \(\frac32=(\frac23)^{-1}\). Основание \(\frac23\) находится между 0 и 1, поэтому при сравнении показателей знак неравенства меняется: \(-4-6x\le-1\). Отсюда \(x\ge-\frac12\).

  3. Основание \(0{,}9\) находится между 0 и 1, поэтому \(0{,}9^{-3x^2+4}<0{,}9^1\) равносильно \(-3x^2+4>1\). Тогда \(x^2<1\), то есть \(-1

  4. Так как основание \(0{,}1\) находится между 0 и 1, неравенство степени с единицей равносильно \(\frac{8-8x}{x-4}<0\); при этом \(x\ne4\). Сократим числитель: \(-8\frac{x-1}{x-4}<0\), откуда \(\frac{x-1}{x-4}>0\). По методу интервалов: \(x<1\) или \(x>4\).

Ответ: 1) \(x=\frac52\); 2) \(x=-2, 0\); 3) \(x=-2\); 4) \(x=-\frac13\). Неравенства: 1) \(x<2\); 2) \(x\ge-\frac12\); 3) \(x\in(-1,1)\); 4) \(x\in(-\infty,1)\cup(4,+\infty)\).