Подготовительный вариант №2. 1. Решить уравнения: 1) $3^{10-2x}=243$; 2) $\left(\frac1{16}\right)^{2x^2+3x}=4^{-x^2}$; 3) $2\cdot5^{x+3}-150\cdot5^x=4$; 4) $3\cdot27^{2x}+5\cdot27^x-2=0$. 2. Решить неравенства: 1) $5^{7x-11}<125$; 2) $\left(\frac23\right)^{-4-6x}\ge\frac32$; 3) $0{,}9^{-3x^2+4}<0{,}9$; 4) $0{,}1^{\frac{8-8x}{x-4}}>1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Подготовительный вариант №2. 1. Решить уравнения: 1) $3^{10-2x}=243$; 2) $\left(\frac1{16}\right)^{2x^2+3x}=4^{-x^2}$; 3)…$ Фото задания

Подготовительный вариант №2. 1. Решить уравнения: 1) $3^{10-2x}=243$; 2) $\left(\frac1{16}\right)^{2x^2+3x}=4^{-x^2}$; 3) $2\cdot5^{x+3}-150\cdot5^x=4$; 4) $3\cdot27^{2x}+5\cdot27^x-2=0$. 2. Решить неравенства: 1) $5^{7x-11}<125$; 2) $\left(\frac23\right)^{-4-6x}\ge\frac32$; 3) $0{,}9^{-3x^2+4}<0{,}9$; 4) $0{,}1^{\frac{8-8x}{x-4}}>1$.

Accepted Answer

1. Уравнения

Так как $243=3^5$, получаем $10-2x=5$, откуда $x=\frac52$.
Представим степени с основанием 2: $\left(\frac1{16}\right)^{2x^2+3x}=2^{-8x^2-12x}$, а $4^{-x^2}=2^{-2x^2}$. Приравниваем показатели: $-8x^2-12x=-2x^2$, то есть $-6x^2-12x=0$. Тогда $-6x(x+2)=0$, откуда $x=0$ или $x=-2$.
Положим $t=5^x$, где $t>0$. Тогда $2\cdot125t-150t=4$, поэтому $100t=4$ и $t=\frac1{25}=5^{-2}$. Следовательно, $x=-2$.
Положим $t=27^x>0$. Получаем $3t^2+5t-2=0$, то есть $(3t-1)(t+2)=0$. С учётом $t>0$, $t=\frac13=27^{-1/3}$, поэтому $x=-\frac13$.

2. Неравенства

$125=5^3$. Основание больше 1, поэтому $7x-11<3$, откуда $x<2$.
Пусть $a=\frac23$, где \(0
Так как $0<0{,}9<1$, неравенство равносильно $-3x^2+4>1$. Получаем $x^2<1$, следовательно, \(-1
Область определения: $x\ne4$. При основании $0{,}1$, меньшем 1, степень больше 1 тогда и только тогда, когда показатель меньше 0. Поэтому $\frac{8-8x}{x-4}<0$, или $\frac{x-1}{x-4}>0$. По знакам множителей получаем $x<1$ или $x>4$.

Ответ: уравнения: 1) $x=\frac52$; 2) $x=-2,0$; 3) $x=-2$; 4) $x=-\frac13$. Неравенства: 1) $x<2$; 2) $x\ge-\frac12$; 3) $(-1,1)$; 4) $(-\infty,1)\cup(4,+\infty)$.