Подготовиться к контрольной работе: 1 а) Найдите координаты и длину вектора AB. б) Разложите вектор АВ по координатным векторам i и j. A (5; −7), В (3; 1); Вершинами треугольника являются точки А (-2;1), В (-1; 5) и С (−6; 2). Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (-1; 4) и В (3; −8). Составьте уравнение окружности с центром в точке Р (3, −1), проходящей через точку М (−2; −4).

Решение задания 1

а) Найдите координаты и длину вектора \[\overrightarrow{AB}\]

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора (точка B) вычесть координаты начала вектора (точка A). Давай найдем координаты вектора \[\overrightarrow{AB}\]:

\[\overrightarrow{AB} = (3 - 5; 1 - (-7)) = (-2; 8)\]

Теперь найдем длину вектора \[\overrightarrow{AB}\]. Длина (или модуль) вектора вычисляется по формуле:

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}\]

Ответ: Координаты вектора \[\overrightarrow{AB}\] равны (-2; 8), а его длина равна \[2\sqrt{17}\].

б) Разложите вектор \[\overrightarrow{AB}\] по координатным векторам \[\overrightarrow{i}\] и \[\overrightarrow{j}\]

Координатные векторы \[\overrightarrow{i}\] и \[\overrightarrow{j}\] имеют координаты \[\overrightarrow{i} = (1; 0)\] и \[\overrightarrow{j} = (0; 1)\] соответственно. Разложить вектор \[\overrightarrow{AB}\] по этим векторам означает представить его в виде линейной комбинации этих векторов.

\[\overrightarrow{AB} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}\]

Используя координаты вектора \[\overrightarrow{AB} = (-2; 8)\]:

\[\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{j}\]

Ответ: Разложение вектора \[\overrightarrow{AB}\] по координатным векторам: \[\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{j}\].

---

Решение задания 2

Вершинами треугольника являются точки A (-2; 1), B (-1; 5) и C (-6; 2). Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, нужно показать, что у него есть две стороны равной длины. Для этого найдем длины всех сторон треугольника.

Длина стороны AB:

\[AB = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(1)^2 + (4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\]

Длина стороны BC:

\[BC = \sqrt{(-6 - (-1))^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\]

Длина стороны CA:

\[CA = \sqrt{(-2 - (-6))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\]

Так как длины сторон AB и CA равны (\[\sqrt{17}\]), треугольник ABC является равнобедренным.

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = CA = \[\sqrt{17}\].

---

Решение задания 3

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки A (-1; 4) и B (3; -8).

Уравнение прямой можно представить в виде \[y = kx + b\], где k - угловой коэффициент, b - свободный член.

Найдем угловой коэффициент k:

\[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-8 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-12}{4} = -3\]

Теперь у нас есть уравнение \[y = -3x + b\]. Подставим координаты точки A (-1; 4) для нахождения b:

\[4 = -3(-1) + b \Rightarrow 4 = 3 + b \Rightarrow b = 1\]

Итак, уравнение прямой имеет вид:

\[y = -3x + 1\]

Ответ: Уравнение прямой: \[y = -3x + 1\]

---

Решение задания 4

Составьте уравнение окружности с центром в точке P (3, -1), проходящей через точку M (−2; −4).

Уравнение окружности имеет вид \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\], где (a, b) - координаты центра окружности, R - радиус.

В данном случае центр окружности - точка P (3, -1), то есть a = 3, b = -1. Радиус окружности равен расстоянию между точками P и M.

Найдем радиус R:

\[R = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (-4 - (-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\]

Теперь подставим значения a, b и R в уравнение окружности:

\[(x - 3)^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{34})^2\]

\[(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 34\]

Ответ: Уравнение окружности: \[(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 34\]

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!