Подготовка к контрольной работе «Длина окружности и площадь круга» 1.Радиус окружности равен 6 см. Найдите длину дуги окружности, которая соответствует центральному углу в 180. 2. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 12√3 см. Найдите периметр треугольника. 3. Диагональ прямоугольника равна 20 см. Найдите площадь круга, описанного около этого прямоугольника. 4.Найдите площадь круга, диаметр которого равен 5 см 5. Периметр правильного треугольника равен 21√3 см. Определите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 18 см. Найдите длину окружности, описанной около этого треугольника. 7. На рисунке О - центр окружности, ∠AOB =120°, длина окружности равна 18см. Найдите длину дуги АКВ. 8. В окружность вписан правильный треугольник, сторона которого 6 см. Найти площадь сегмента, который отсекает сторона треугольника. 9. На рисунке О - центр окружности, ∠AOB =120°, площадь круга равна 36 см². Найдите площадь сектора ОАСВ. 10. Определить площадь кругового сегмента, если его отсекает хорда длиной 20 см, а дуга содержит 60°. Домашняя работа 1.Радиус окружности равен 15 см. Найдите длину дуги окружности, которая соответствует центральному углу в 18°. 2. Радиус окружности, описанной ок

Подготовка к контрольной работе «Длина окружности и площадь круга»

1. Задача 1: Радиус окружности равен 6 см. Найти длину дуги окружности, которая соответствует центральному углу в 180°.

   Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \[l = \frac{\pi r \alpha}{180}\] где l - длина дуги, r - радиус окружности, \(\alpha\) - центральный угол в градусах.

   В данном случае, r = 6 см, \(\alpha\) = 180°.

   Подставляем значения в формулу: \[l = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 180}{180} = 6\pi\]

   Ответ: \[6\pi\] см.

2. Задача 2: Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен \[12\sqrt{3}\] см. Найти периметр треугольника.

   Сторона правильного треугольника, описанного около окружности, равна \[a = r \sqrt{3}\] где r - радиус окружности.

   В данном случае, r = \[12\sqrt{3}\] см.

   Подставляем значения в формулу: \[a = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12 \cdot 3 = 36\]

   Периметр правильного треугольника равен \[P = 3a = 3 \cdot 36 = 108\]

   Ответ: 108 см.

3. Задача 3: Диагональ прямоугольника равна 20 см. Найти площадь круга, описанного около этого прямоугольника.

   Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, равна диаметру окружности: \[d = 2r\] где r - радиус окружности.

   В данном случае, d = 20 см.

   Радиус окружности равен: \[r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10\]

   Площадь круга вычисляется по формуле: \[S = \pi r^2\]

   Подставляем значение радиуса: \[S = \pi \cdot 10^2 = 100\pi\]

   Ответ: \[100\pi\] \[см^2\]

4. Задача 4: Найти площадь круга, диаметр которого равен 5 см.

   Радиус круга равен половине диаметра: \[r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\]

   Площадь круга вычисляется по формуле: \[S = \pi r^2\]

   Подставляем значение радиуса: \[S = \pi (2.5)^2 = 6.25\pi\]

   Ответ: \[6.25\pi\] \[см^2\]

5. Задача 5: Периметр правильного треугольника равен \[21\sqrt{3}\] см. Определите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

   Сторона правильного треугольника равна: \[a = \frac{P}{3} = \frac{21\sqrt{3}}{3} = 7\sqrt{3}\]

   Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен: \[r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

   Подставляем значение стороны: \[r = \frac{7\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{2} = 3.5\]

   Ответ: 3.5 см.

6. Задача 6: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 18 см. Найти длину окружности, описанной около этого треугольника.

   Гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, равна диаметру окружности: \[d = 2r\]

   В данном случае, d = 18 см.

   Длина окружности вычисляется по формуле: \[C = \pi d = 18\pi\]

   Ответ: \[18\pi\] см.

7. Задача 7: На рисунке O - центр окружности, ∠AOB = 120°, длина окружности равна 18 см. Найти длину дуги AKB.

   Длина окружности: \[C = 2\pi r = 18\] см.

   Угол дуги AKB составляет 360° - 120° = 240°.

   Длина дуги вычисляется по формуле: \[l = \frac{\pi r \alpha}{180} = \frac{C \alpha}{360}\]

   Подставляем значения в формулу: \[l = \frac{18 \cdot 240}{360} = 12\]

   Ответ: 12 см.

8. Задача 8: В окружность вписан правильный треугольник, сторона которого 6 см. Найти площадь сегмента, который отсекает сторона треугольника.

   Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен: \[r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\]

   Площадь правильного треугольника равна: \[S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\]

   Площадь сектора равна: \[S_{sector} = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} = \frac{\pi (2\sqrt{3})^2 \cdot 120}{360} = 4\pi\]

   Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника: \[S_{segment} = S_{sector} - S_{\triangle} = 4\pi - 9\sqrt{3}\]

   Ответ: \[4\pi - 9\sqrt{3}\] \[см^2\]

9. Задача 9: На рисунке O - центр окружности, ∠AOB = 120°, площадь круга равна 36 см². Найти площадь сектора OACB.

   Площадь круга вычисляется по формуле: \[S = \pi r^2 = 36\]

   Площадь сектора вычисляется по формуле: \[S_{sector} = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} = \frac{S \alpha}{360}\]

   В данном случае, \(\alpha\) = 120°.

   Подставляем значения в формулу: \[S_{sector} = \frac{36 \cdot 120}{360} = 12\]

   Ответ: 12 \[см^2\]

10. Задача 10: Определить площадь кругового сегмента, если его отсекает хорда длиной 20 см, а дуга содержит 60°.

    Радиус окружности можно найти из соотношения: \[a = 2r \sin{\frac{\alpha}{2}}\] где a - длина хорды, \(\alpha\) - угол дуги.

    В данном случае, a = 20 см, \(\alpha\) = 60°.

    Подставляем значения в формулу: \[20 = 2r \sin{30°} = 2r \cdot \frac{1}{2} = r\]

    Радиус окружности равен: r = 20 см.

    Площадь сектора равна: \[S_{sector} = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 20^2 \cdot 60}{360} = \frac{200\pi}{3}\]

    Площадь треугольника равна: \[S_{\triangle} = \frac{1}{2} r^2 \sin{\alpha} = \frac{1}{2} \cdot 20^2 \cdot \sin{60°} = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}\]

    Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника: \[S_{segment} = S_{sector} - S_{\triangle} = \frac{200\pi}{3} - 100\sqrt{3}\]

    Ответ: \[\frac{200\pi}{3} - 100\sqrt{3}\] \[см^2\]

Домашняя работа

1. Задача 1: Радиус окружности равен 15 см. Найдите длину дуги окружности, которая соответствует центральному углу в 18°.

   Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \[l = \frac{\pi r \alpha}{180}\] где l - длина дуги, r - радиус окружности, \(\alpha\) - центральный угол в градусах.

   В данном случае, r = 15 см, \(\alpha\) = 18°.

   Подставляем значения в формулу: \[l = \frac{\pi \cdot 15 \cdot 18}{180} = \frac{3\pi}{2}\]

   Ответ: \[\frac{3\pi}{2}\] см.

2. Задача 2: Радиус окружности, описанной ок

Ответ: \[\frac{3\pi}{2}\] см