Подготовка к контрольной работе "Подобные треугольники" Вариант 2 1. Докажите, что треугольники, изображённые на рисунке, подобны, и выясните взаимное расположение прямых ВС и DF. 2. На рисунке треугольники АВС и DEC подобны, причём DE || AB, AD = 3 см, DC = 5 см, ВС = 7 см. Найдите СЕ. 3. Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника. 4. На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС отмечены точки D, Е, Р соответственно, АВ = 9 см, AD = 3 см, АР = 6 см, DP = 4 см, ВЕ = 8 см, DE = 12 см. Докажите, что DE|| AC. 5. Начертите отрезок РМ и разделите его в отношении 5:9.

Привет! Давай вместе разберем эти задачи. Уверена, у тебя все получится!

1. Подобие треугольников и взаимное расположение прямых

Для доказательства подобия треугольников нужно показать, что углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, или что стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

На рисунке у нас есть два треугольника. Нужно проверить пропорциональность сторон и равенство углов.

Давай посмотрим на отношение сторон:

• AB/DE = 9/3 = 3
• BC/EF = 12/4 = 3
• AC/DF = 18/6 = 3

Так как все отношения сторон равны, треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам).

Теперь выясним взаимное расположение прямых BC и DF. Поскольку треугольники подобны, соответствующие углы равны. Значит, угол ACB равен углу DFE. Эти углы являются соответственными при прямых BC и DF и секущей CF. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, BC || DF.

Ответ: Треугольники подобны, прямые BC и DF параллельны.

2. Нахождение CE

Поскольку треугольники ABC и DEC подобны и DE || AB, можно использовать свойство пропорциональных отрезков:

\[\frac{DC}{AD} = \frac{EC}{BE}\]

Мы знаем, что AD = 3 см, DC = 5 см и BC = 7 см. Пусть CE = x, тогда BE = BC - CE = 7 - x.

Подставим известные значения в пропорцию:

\[\frac{5}{3} = \frac{x}{7 - x}\]

Решим уравнение:

\[5(7 - x) = 3x\] \[35 - 5x = 3x\] \[35 = 8x\] \[x = \frac{35}{8} = 4.375\]

Таким образом, CE = 4.375 см.

Ответ: CE = 4.375 см

3. Периметр равнобедренного треугольника

Пусть основание равнобедренного треугольника равно a = 18 мм, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки длиной 12 мм и x мм. По свойству биссектрисы:

\[\frac{12}{x} = \frac{a}{b}\]

где b - боковая сторона треугольника. Мы знаем, что a = 18 мм, так что:

\[\frac{12}{x} = \frac{18}{12 + x}\]

Решим уравнение:

\[12(12 + x) = 18x\] \[144 + 12x = 18x\] \[144 = 6x\] \[x = 24\]

Боковая сторона b = 12 + x = 12 + 24 = 36 мм. Периметр треугольника P равен:

\[P = a + 2b = 18 + 2 \cdot 36 = 18 + 72 = 90\]

Периметр треугольника равен 90 мм.

Ответ: Периметр треугольника равен 90 мм.

4. Доказательство параллельности DE и AC

Чтобы доказать, что DE || AC, нужно показать, что углы ADE и BAC равны, или углы DEC и ACB равны. Проверим пропорциональность отрезков на сторонах AB и BC:

\[\frac{AD}{DB} = \frac{3}{9 - 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\] \[\frac{BE}{EC} = \frac{8}{12 - 8} = \frac{8}{4} = 2\]

Так как \(\frac{AD}{DB}
eq \frac{BE}{EC}\), то DE не параллельна AC.

Проверим пропорциональность отрезков AP/PC и AD/DB:

\[\frac{AP}{PC} = \frac{6}{4}\] \[\frac{AP}{PC} = \frac{3}{2}\] \[\frac{AD}{DB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Значит, DE не параллельна AC.

Ответ: DE не параллельна AC.

5. Деление отрезка PN в отношении 5:9

Чтобы разделить отрезок PN в отношении 5:9, нужно начертить отрезок PN и построить точку, делящую его в этом отношении.

На практике это делается так: чертим отрезок PN. Затем из точки P проводим луч под углом к PN. На луче откладываем 5 + 9 = 14 равных отрезков. Соединяем конец 14-го отрезка с точкой N. Через точку 5-го отрезка проводим прямую, параллельную линии, соединяющей 14-й отрезок и N. Точка пересечения этой прямой с PN и будет искомой точкой деления.

Ответ: Отрезок PN разделен в отношении 5:9.

Молодец! Ты хорошо поработал(а) над этими задачами. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!