Подходящий генератор (2 балла) Для случайного отбора объявлений доступны генераторы Gn. При каждом вызове генератор Gп независимо возвращает одно из п значений с одинаковой вероятностью. Разрешается выбрать один генератор Gп и вызывать его любое конечное число раз. По полученной последовательно результатов нужно построить случайную величину X ~ Bernoulli (160). Какой генератор с минимальным числом возможных значений позволяет получить такую случайную величину? Выберите подходящий вариант ответа. Выберите один вариант из списка G40 G30 G15 G12 G20 G25 G24 Отправить на проверку осталась 1 попытка

Решение:

Случайная величина \( X \) имеет распределение Бернулли \( \text{Bernoulli}(p) \), где \( p = \frac{7}{160} \). Это означает, что при каждом испытании есть два исхода: "успех" с вероятностью \( p \) и "неудача" с вероятностью \( 1-p \).

Генератор \( G_n \) возвращает одно из \( n \) значений с одинаковой вероятностью. Чтобы получить распределение Бернулли, нам нужно, чтобы генератор мог вернуть два значения: одно со значением "успех" (с вероятностью \( p \)), а другое со значением "неудача" (с вероятностью \( 1-p \)).

Если генератор \( G_n \) возвращает одно из \( n \) значений с вероятностью \( \frac{1}{n} \), то для того, чтобы получить вероятность \( p = \frac{7}{160} \), нам нужно, чтобы \( \frac{1}{n} = p \) или \( \frac{1}{n} = 1-p \).

Если \( \frac{1}{n} = \frac{7}{160} \), то \( n = \frac{160}{7} \), что не является целым числом. Это означает, что мы не можем получить вероятность \( p \) напрямую, если \( p \) не является кратной \( \frac{1}{n} \) или \( 1-\frac{1}{n} \).

Однако, условие задачи гласит, что мы можем выбрать один генератор \( G_n \) и вызывать его любое конечное число раз. Случайная величина \( X \) строится по результатам. Если генератор \( G_n \) возвращает одно значение из \( n \) с вероятностью \( \frac{1}{n} \), то мы можем смоделировать распределение Бернулли, если \( n \) будет таким, что \( \frac{1}{n} \) позволит нам сформировать вероятность \( p \).

Для распределения Бернулли \( \text{Bernoulli}(p) \), где \( p = \frac{7}{160} \), нам необходимо, чтобы генератор мог выдать "успех" с вероятностью \( \frac{7}{160} \) и "неудачу" с вероятностью \( 1 - \frac{7}{160} = \frac{153}{160} \).

Если генератор \( G_n \) возвращает одно из \( n \) значений с равной вероятностью \( \frac{1}{n} \), то нам нужно, чтобы \( n \) было кратно 160, чтобы мы могли выбрать \( 7 \) исходов как "успех" и \( 153 \) исходов как "неудачу".

То есть, если \( n \) делится на 160, мы можем выбрать \( 7 \) из \( n \) значений как "успех" и \( 153 \) из \( n \) значений как "неудачу".

Среди предложенных вариантов: \( G_{40}, G_{30}, G_{15}, G_{12}, G_{20}, G_{25}, G_{24} \).

Нам нужен генератор \( G_n \) такой, что \( n \) является делителем 160, или что \( n \) позволяет получить вероятности \( \frac{7}{160} \) и \( \frac{153}{160} \).

Наименьшее \( n \), для которого \( \frac{1}{n} \) может быть связано с \( \frac{7}{160} \) или \( \frac{153}{160} \) — это \( n=160 \) (подразумевается, что мы можем выбрать 7 значений как успех и 153 как неудачу).

Однако, мы должны выбрать один из предложенных генераторов. Нам нужно найти такой \( n \) из списка, чтобы мы могли сконструировать вероятности \( \frac{7}{160} \) и \( \frac{153}{160} \).

Если мы выбираем генератор \( G_n \), то вероятность каждого его исхода равна \( \frac{1}{n} \). Чтобы получить распределение Бернулли \( \text{Bernoulli}(p) \), мы должны выбрать \( k \) исходов как "успех" и \( n-k \) исходов как "неудача" таким образом, чтобы \( \frac{k}{n} = p \) и \( \frac{n-k}{n} = 1-p \).

В нашем случае \( p = \frac{7}{160} \). Значит, нам нужно, чтобы \( \frac{k}{n} = \frac{7}{160} \).

Рассмотрим варианты:

• \( G_{40} \): \( n=40 \). Может ли \( \frac{k}{40} = \frac{7}{160} \)? \( k = 40 \times \frac{7}{160} = \frac{7}{4} \). Не целое.
• \( G_{30} \): \( n=30 \). \( k = 30 \times \frac{7}{160} = \frac{21}{16} \). Не целое.
• \( G_{15} \): \( n=15 \). \( k = 15 \times \frac{7}{160} = \frac{105}{160} \). Не целое.
• \( G_{12} \): \( n=12 \). \( k = 12 \times \frac{7}{160} = \frac{84}{160} \). Не целое.
• \( G_{20} \): \( n=20 \). \( k = 20 \times \frac{7}{160} = \frac{140}{160} = \frac{7}{8} \). Не целое.
• \( G_{25} \): \( n=25 \). \( k = 25 \times \frac{7}{160} = \frac{175}{160} \). Не целое.
• \( G_{24} \): \( n=24 \). \( k = 24 \times \frac{7}{160} = \frac{168}{160} \). Не целое.

Проблема в том, что мы строим случайную величину по результатам. Нам нужен такой \( n \), чтобы мы могли смоделировать вероятность \( \frac{7}{160} \). Это означает, что \( n \) должно быть таким, чтобы \( \frac{k}{n} = \frac{7}{160} \) для некоторых целых \( k \) и \( n \).

Наименьшее \( n \), для которого это возможно, — это \( n = 160 \), где \( k=7 \).

Если мы не можем получить \( p \) напрямую, мы можем использовать комбинацию исходов. Однако, в данном случае, задача просит выбрать один генератор \( G_n \) с минимальным числом возможных значений.

Мы ищем \( n \) из списка, для которого \( n \) является делителем какого-то кратного 160, или наоборот. Иными словами, ищется \( n \) такое, что \( \frac{7}{160} \) может быть представлено как \( \frac{k}{n} \) или \( \frac{n-k}{n} \).

Это значит, что \( n \) должно быть таким, чтобы \( 160 \) делилось на \( n \) или \( n \) делилось на \( 160 \) (что маловероятно, так как \( n \) мало).

Ищем \( n \) из списка, такое что \( 160 = m \times n \) для некоторого \( m \) (т.е. \( n \) - делитель \( 160 \)), и \( k = 7 \times m \).

Делители 160: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160.

Среди предложенных вариантов, делителями 160 являются: 40, 20.

Если \( n=40 \), то \( 160 = 4 \times 40 \). Тогда \( k = 7 \times 4 = 28 \). Проверим: \( \frac{k}{n} = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} \). Не подходит.

Если \( n=20 \), то \( 160 = 8 \times 20 \). Тогда \( k = 7 \times 8 = 56 \). Проверим: \( \frac{k}{n} = \frac{56}{20} = \frac{14}{5} \). Не подходит.

Проблема в понимании того, как строится случайная величина.