Подобны ли прямоугольные треугольники ABC и A'B'C'?

Решение:

Чтобы определить, подобны ли прямоугольные треугольники, достаточно проверить равенство одного из острых углов. Если углы равны, то и второй острый угол будет равен, так как сумма углов в треугольнике составляет 180°.

Рассмотрим треугольник \( \Delta ABC \). Угол \( \angle C = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \Delta A'B'C' \). Угол \( \angle C' = 90^{\circ} \).

Для подобия по первому признаку (по двум углам), нам нужно чтобы \( \angle A = \angle A' \) или \( \angle B = \angle B' \).

Для подобия по второму признаку (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), нам нужно чтобы \( \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'} \) и \( \angle C = \angle C' = 90^{\circ} \) (что выполняется) или \( \frac{AC}{B'C'} = \frac{BC}{A'C'} \) и \( \angle C = \angle C' = 90^{\circ} \).

Проверим отношение сторон:

Отношение катетов в \( \Delta A'B'C' \): \( \frac{A'C'}{B'C'} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \) или \( \frac{B'C'}{A'C'} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \).

Отношение гипотенузы к катетам в \( \Delta A'B'C' \): \( \frac{A'B'}{A'C'} = \frac{?} {9} \), \( \frac{A'B'}{B'C'} = \frac{?} {15} \). (Гипотенуза \( A'B' \) неизвестна, но мы можем её найти по теореме Пифагора: \( A'B'^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306 \), \( A'B' = \sqrt{306} \) ).

По условию задачи, \( BC = 10 \) и \( AC = 8 \) (предполагая, что \( CD = 8 \) и \( DB = 10 \) в \( \Delta ABC \), но для \( \Delta ABC \) не даны стороны, только \( CD=8 \) и \( DB=10 \). Если \( C \) — вершина прямого угла, то \( AC=8 \) и \( BC=10 \)).

Предположим, что \( \Delta ABC \) — прямоугольный треугольник с катетами \( AC = 8 \) и \( BC = 10 \).

Тогда отношение катетов в \( \Delta ABC \) будет \( \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \) или \( \frac{BC}{AC} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \).

Сравниваем отношения катетов:

В \( \Delta A'B'C' \): \( \frac{3}{5} \) или \( \frac{5}{3} \).

В \( \Delta ABC \) (предполагая \( AC=8, BC=10 \)): \( \frac{4}{5} \) или \( \frac{5}{4} \).

Так как \( \frac{3}{5} \) \(≠\) \( \frac{4}{5} \) и \( \frac{5}{3} \) \(≠\) \( \frac{5}{4} \), треугольники не подобны по пропорциональным катетам.

Ответ: Нет, прямоугольные треугольники ABC и A'B'C' не подобны.