Поезда метро идут строго по расписанию. Интервал движения - шесть минут. Составьте f(x) и F(x) случайной величины Х времени ожидания очередного поезда Найдите М(X), D(X).

Составим f(x) и F(x) случайной величины X – времени ожидания очередного поезда и найдем M(X), D(X) при условии, что время ожидания поезда распределено равномерно на отрезке [0;6]. Плотность вероятности (PDF) для равномерного распределения на отрезке [a, b] задается формулой: $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & \text{если } a \le x \le b \\ 0, & \text{иначе} \end{cases} $$ В нашем случае a = 0 и b = 6, следовательно, $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6-0} = \frac{1}{6}, & \text{если } 0 \le x \le 6 \\ 0, & \text{иначе} \end{cases} $$ Функция распределения (CDF) для равномерного распределения на отрезке [a, b] задается формулой: $$ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & \text{если } a \le x \le b \\ 1, & \text{если } x > b \end{cases} $$ В нашем случае a = 0 и b = 6, следовательно, $$ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 0 \\ \frac{x-0}{6-0} = \frac{x}{6}, & \text{если } 0 \le x \le 6 \\ 1, & \text{если } x > 6 \end{cases} $$ Математическое ожидание (среднее значение) для равномерного распределения вычисляется по формуле: $$ M(X) = \frac{a+b}{2} $$ В нашем случае a = 0 и b = 6, следовательно, $$ M(X) = \frac{0+6}{2} = 3 $$ Дисперсия для равномерного распределения вычисляется по формуле: $$ D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} $$ В нашем случае a = 0 и b = 6, следовательно, $$ D(X) = \frac{(6-0)^2}{12} = \frac{36}{12} = 3 $$ Ответ:

• Плотность вероятности: $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6}, & \text{если } 0 \le x \le 6 \\ 0, & \text{иначе} \end{cases} $$
• Функция распределения: $$ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 0 \\ \frac{x}{6}, & \text{если } 0 \le x \le 6 \\ 1, & \text{если } x > 6 \end{cases} $$
• Математическое ожидание: $$ M(X) = 3 $$
• Дисперсия: $$ D(X) = 3 $$