Points X, Y, and Z are chosen on the sides of triangle ABC such that all segments of the broken line AXYBZC are equal. What is the measure of angle A of triangle ABC if angle B equals 110°? Express the answer as a positive integer.

Решение:

Пусть AX = XY = YB = BZ = ZC = x. Обозначим углы ∠A = α, ∠C = γ. Так как AXY - равнобедренный, то ∠A = ∠XYA = α. Тогда ∠XYB = 180° - ∠XYA = 180° - α. Треугольник BYZ - равнобедренный, значит ∠BYZ = ∠YZB = (180° - (180° - α))/2 = α/2. Тогда ∠BZY = ∠CZY = α/2. Треугольник CZB - равнобедренный, значит ∠C = ∠CBZ = γ. Так как BZ = ZC, то γ = α/2.

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Подставим известные значения углов: α + 110° + α/2 = 180°. Решим уравнение относительно α: α + α/2 = 180° - 110°, 3α/2 = 70°, α = 70° * 2/3 = 140°/3 ≈ 46.67°.

Выразим ответ в виде положительного целого числа. Округлим до ближайшего целого числа. Получаем 47.

Ответ: 47