Показать, что функция F (х) является первообразной функции f (х) на всей числовой прямой: 1) F(x)=\frac{x^6}{6}, f (x)=x^5; 3) F(x)=x³+2, f (x)=3x²;

Для того чтобы функция F(x) являлась первообразной для функции f(x), необходимо, чтобы производная F'(x) равнялась f(x).

1) Дано: $$F(x)=\frac{x^6}{6}, f (x)=x^5$$

Найдём производную F(x):

$$F'(x) = (\frac{x^6}{6})' = \frac{1}{6} \cdot 6x^5 = x^5$$

Так как $$F'(x) = x^5 = f(x)$$, то функция $$F(x)=\frac{x^6}{6}$$ является первообразной для функции $$f(x) = x^5$$.

3) Дано: $$F(x)=x^3+2, f (x)=3x^2$$

Найдём производную F(x):

$$F'(x) = (x^3+2)' = 3x^2$$

Так как $$F'(x) = 3x^2 = f(x)$$, то функция $$F(x)=x^3+2$$ является первообразной для функции $$f(x) = 3x^2$$.

Ответ: В обоих случаях функция F(x) является первообразной для функции f(x).