Показательное неравенство Решите неравенство (1/16)^x^2 >= (1/2)^(3-x) Укажите количество целых чисел в решении неравенства. Если целых решений бесконечно много, то введите 1000. Укажите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства. Если наименьшее целое число указать нельзя, то введите -1000.

Давай разберем это показательное неравенство по шагам!

1. Преобразуем основания степеней к одному виду.

   Мы знаем, что 16 — это 2 в 4 степени, то есть $$16 = 2^4$$. Поэтому, $$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = (\frac{1}{2})^4$$.

   Теперь наше неравенство выглядит так:

   \[ \left( \left( \frac{1}{2} \right)^4 \right)^{x^2} \ge \left( \frac{1}{2} \right)^{3-x} \]

2. Упростим степени.

   При возведении степени в степень, показатели перемножаются. Получаем:

   \[ \left( \frac{1}{2} \right)^{4x^2} \ge \left( \frac{1}{2} \right)^{3-x} \]

3. Сравним показатели степеней.

   Когда основание степени больше 0 и меньше 1 (в нашем случае это $$\frac{1}{2}$$), при сравнении степеней знак неравенства меняется на противоположный.

   Значит, нам нужно решить такое неравенство:

   \[ 4x^2 \le 3-x \]

4. Решим получившееся квадратное неравенство.

   Перенесем все члены в одну сторону:

   \[ 4x^2 + x - 3 \le 0 \]

   Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $$4x^2 + x - 3 = 0$$. Воспользуемся дискриминантом:

   \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(4)(-3) = 1 + 48 = 49 \]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2(4)} = \frac{-1 \pm 7}{8} \]\[ x_1 = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]\[ x_2 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75 \]"

   Теперь определим, где $$4x^2 + x - 3 \le 0$$. Это парабола ветвями вверх, и она меньше или равна нулю между корнями.

   Таким образом, решение неравенства: $$x \in [-1; 0.75]$$.

5. Найдем количество целых чисел в решении.

   Целые числа, которые попадают в интервал $$[-1; 0.75]$$, это -1 и 0.

6. Определим наименьшее целое число.

   Наименьшее целое число в этом интервале — это -1.

Ответ: 2

Ответ: -1