396. Покажите с помощью графиков, что система уравнений { x² + y² = 25, y = x²-6 имеет четыре решения, и найдите их.

Для решения этой задачи необходимо графически представить уравнения и найти точки их пересечения.

1. Первое уравнение $$x^2 + y^2 = 25$$ представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 5.
2. Второе уравнение $$y = x^2 - 6$$ представляет собой параболу, вершина которой находится в точке (0, -6) и ветви направлены вверх.

Чтобы показать, что система имеет четыре решения, нужно увидеть, что парабола пересекает окружность в четырёх точках. Нарисуем графики этих функций.

      y
      ^
      |
      |    * *       * *
      |  *     *   *     *
  5   |*       * *       *
      | *      *   *      *
      |  *    *     *    *
      |   *  *       *  *
      |               
      ----------------------> x
 -5   |-----O----- 5
      |               
      |   *  *       *  *
      |  *    *     *    *
      | *      *   *      *
-5   |*       * *       *
      |  *     *   *     *
      |    * *       * *
 -6   |     *
      |
      |
     -5

По графику видно, что парабола пересекает окружность в четырёх точках.

Чтобы найти координаты этих точек, нужно решить систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = x^2 - 6 \end{cases}$$

Подставим второе уравнение в первое:

$$x^2 + (x^2 - 6)^2 = 25$$

$$x^2 + x^4 - 12x^2 + 36 = 25$$

$$x^4 - 11x^2 + 11 = 0$$

Решим это уравнение как квадратное относительно $$x^2$$. Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 11t + 11 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 121 - 44 = 77$$

Найдём корни:

$$t_1 = \frac{11 + \sqrt{77}}{2} \approx 9.887$$

$$t_2 = \frac{11 - \sqrt{77}}{2} \approx 1.113$$

Теперь найдём значения x:

$$x_1 = \sqrt{t_1} = \sqrt{\frac{11 + \sqrt{77}}{2}} \approx \pm 3.144$$

$$x_2 = \sqrt{t_2} = \sqrt{\frac{11 - \sqrt{77}}{2}} \approx \pm 1.055$$

Теперь найдём значения y, подставив x во второе уравнение:

Для $$x_1 = \pm 3.144$$:

$$y_1 = (3.144)^2 - 6 \approx 9.887 - 6 \approx 3.887$$

Для $$x_2 = \pm 1.055$$:

$$y_2 = (1.055)^2 - 6 \approx 1.113 - 6 \approx -4.887$$

Таким образом, координаты точек пересечения приблизительно равны:

$$(3.144, 3.887), (-3.144, 3.887), (1.055, -4.887), (-1.055, -4.887)$$

Ответ: Система уравнений имеет четыре решения, координаты которых приблизительно равны: $$(3.144, 3.887), (-3.144, 3.887), (1.055, -4.887), (-1.055, -4.887)$$.