Поклонов Артем 17 группа Лабораторная работа №6 Вычисление площади полной поверхности и объёма усечённого конуса. Оборудование: Модель усечённого конуса, линейка, нитка, учебник, справочник, задачники, калькулятор. C = 4 см C = 2,8 L = 7 Формулы для вычисления: 1. Sп.п.у.к. = Sбок.н. + Sнижн.о + Sверх. 2. Sбок = πL(r+R) 3. Sнижн. вер = πr² 4. Sсм, нижи = πR² 5. L = √(H² + (R-r)²) 6. V = 1/3 πH(R² + r² + R·r) 23.02

Лабораторная работа №6

Тема: Вычисление площади полной поверхности и объёма усечённого конуса.

Оборудование: Модель усечённого конуса, линейка, нитка, учебник, справочник, задачники, калькулятор.

Данные:

• Большая окружность основания: \( C = 2,8 \) см
• Меньшая окружность основания: \( C = 4 \) см
• Образующая: \( L = 7 \) см

Примечание: На чертеже указано, что \( C \) для верхнего основания равно 4 см, а для нижнего — 2,8 см. Однако, в формулах для вычисления площади поверхности и объема усечённого конуса принято, что \( R \) — радиус большего основания, а \( r \) — радиус меньшего. В данном случае, \( C_{верх} = 2 \pi r = 4 \) см, что означает \( r = \frac{4}{2 \pi} \) см. И \( C_{ниж} = 2 \pi R = 2,8 \) см, что означает \( R = \frac{2,8}{2 \pi} \) см. Это противоречит стандартному виду усечённого конуса, где нижнее основание всегда больше верхнего. Предполагая, что \( C \) верхнего основания равно 2,8 см, а \( C \) нижнего основания равно 4 см, получим:

• Радиус верхнего основания: \( r = \frac{2,8}{2 \pi} = \frac{1,4}{\pi} \) см.
• Радиус нижнего основания: \( R = \frac{4}{2 \pi} = \frac{2}{\pi} \) см.
• Образующая: \( L = 7 \) см.

Формулы для вычисления:

1. Площадь полной поверхности: \( S_{п.п.у.к.} = S_{бок.н.} + S_{нижн.о} + S_{верх.} \)
2. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \pi L (r + R) \)
3. Площадь верхнего основания: \( S_{верх.} = \pi r^2 \)
4. Площадь нижнего основания: \( S_{нижн.} = \pi R^2 \)
5. Высота (для проверки, если необходимо): \( H = \sqrt{L^2 - (R-r)^2} \)
6. Объём: \( V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + r^2 + R \cdot r) \)

Расчёты:

1. Площадь боковой поверхности:

   \( S_{бок} = \pi L (r + R) = \pi \cdot 7 \left( \frac{1,4}{\pi} + \frac{2}{\pi} \right) = 7 \pi \left( \frac{3,4}{\pi} \right) = 7 \cdot 3,4 = 23,8 \) см²

2. Площадь верхнего основания:

   \( S_{верх.} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{1,4}{\pi} \right)^2 = \pi \frac{1,96}{\pi^2} = \frac{1,96}{\pi} \) см²

3. Площадь нижнего основания:

   \( S_{нижн.} = \pi R^2 = \pi \left( \frac{2}{\pi} \right)^2 = \pi \frac{4}{\pi^2} = \frac{4}{\pi} \) см²

4. Площадь полной поверхности:

   \( S_{п.п.у.к.} = S_{бок} + S_{верх.} + S_{нижн.} = 23,8 + \frac{1,96}{\pi} + \frac{4}{\pi} = 23,8 + \frac{5,96}{\pi} \) см²

   Приближённо: \( \frac{5,96}{\pi} \approx \frac{5,96}{3,14} \approx 1,9 \) см²

   \( S_{п.п.у.к.} \approx 23,8 + 1,9 = 25,7 \) см²

5. Высота (для объёма):

   \( H = \sqrt{L^2 - (R-r)^2} = \sqrt{7^2 - \left(\frac{2}{\pi} - \frac{1,4}{\pi}\right)^2} = \sqrt{49 - \left(\frac{0,6}{\pi}\right)^2} = \sqrt{49 - \frac{0,36}{\pi^2}} \)

   Приближённо: \( \frac{0,36}{\pi^2} \approx \frac{0,36}{9,86} \approx 0,036 \)

   \( H \approx \sqrt{49 - 0,036} \approx \sqrt{48,964} \approx 6,997 \) см (приблизительно \( H \approx L \) так как \( R \) и \( r \) очень близки).

6. Объём:

   \( V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + r^2 + R \cdot r) \)

   \( V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{49 - \frac{0,36}{\pi^2}} \left( \left(\frac{2}{\pi}\right)^2 + \left(\frac{1,4}{\pi}\right)^2 + \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1,4}{\pi} \right) \)

   \( V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{49 - \frac{0,36}{\pi^2}} \left( \frac{4}{\pi^2} + \frac{1,96}{\pi^2} + \frac{2,8}{\pi^2} \right) \)

   \( V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{49 - \frac{0,36}{\pi^2}} \left( \frac{8,76}{\pi^2} \right) \)

   \( V = \frac{8,76}{3 \pi} \sqrt{49 - \frac{0,36}{\pi^2}} \approx \frac{8,76}{3 \cdot 3,14} \sqrt{48,964} \approx \frac{8,76}{9,42} \cdot 6,997 \approx 0,93 \cdot 6,997 \approx 6,51 \) см³

Ответ: Площадь полной поверхности ≈ 25,7 см², объём ≈ 6,51 см³.