14. Полина завела себе аккаунт на одном из сватов. После этого она каждую неделю размещала там в одинаковое число раз больше фотографий, чем в предыдущую неделю. За четвёртую неделю она разместила 54 фотографии. На пятую неделю она разместила на 324 фотографии меньше, чем за шестую неделю. Сколько фотографий разместила Полина с первой по шестую неделю?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Обозначим количество фотографий, размещенных Полиной в первую неделю, как \( x \), а коэффициент увеличения количества фотографий каждую неделю как \( q \). Тогда количество фотографий, размещенных в каждую неделю, можно выразить следующим образом:
   • 1-я неделя: \( x \)
   • 2-я неделя: \( xq \)
   • 3-я неделя: \( xq^2 \)
   • 4-я неделя: \( xq^3 = 54 \)
   • 5-я неделя: \( xq^4 \)
   • 6-я неделя: \( xq^5 \)
2. По условию задачи, разница между количеством фотографий, размещенных в шестую и пятую недели, составляет 324. То есть: \( xq^5 - xq^4 = 324 \).
3. Выносим общий множитель \( xq^4 \) за скобки: \( xq^4(q - 1) = 324 \).
4. Мы знаем, что \( xq^3 = 54 \), поэтому выразим \( xq^4 \) как \( xq^3 \cdot q = 54q \).
5. Подставим это в уравнение: \( 54q(q - 1) = 324 \).
6. Разделим обе части уравнения на 54: \( q(q - 1) = 6 \).
7. Раскроем скобки: \( q^2 - q = 6 \).
8. Перенесем все в одну сторону: \( q^2 - q - 6 = 0 \).
9. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \). Корни:
   • \( q_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)
   • \( q_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)
10. Так как количество фотографий не может быть отрицательным, выбираем \( q = 3 \).
11. Теперь найдем \( x \): \( x \cdot 3^3 = 54 \). \( x \cdot 27 = 54 \). \( x = 2 \).
12. Следовательно, количество фотографий в каждую неделю:
    • 1-я неделя: 2
    • 2-я неделя: 6
    • 3-я неделя: 18
    • 4-я неделя: 54
    • 5-я неделя: 162
    • 6-я неделя: 486
13. Найдем общее количество фотографий: \( 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 \).

Ответ: 728 фотографий.