Полный дифференциал функции z = x² + y в точке (0,0) равен

Решение:

Для нахождения полного дифференциала функции \( z = f(x, y) \) используется формула:

\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]

Найдем частные производные функции \( z = x^2 + y \):

• Первая частная производная по \( x \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y) = 2x \]

• Вторая частная производная по \( y \):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y) = 1 \]

Теперь вычислим значения частных производных в точке \( (0,0) \):

• \( \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(0,0)} = 2 \cdot 0 = 0 \)
• \( \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(0,0)} = 1 \)

Подставим эти значения в формулу полного дифференциала:

\[ dz = 0 \cdot dx + 1 \cdot dy \]

\[ dz = dy \]

Таким образом, полный дифференциал функции \( z = x^2 + y \) в точке \( (0,0) \) равен \( dy \).

Ответ: dy