Полный дифференциал функции Z = x³ – y³ в точке Ро(1, 1) равен:

Решение:

Для нахождения полного дифференциала функции \( Z = f(x, y) \) используется формула: \( dZ = \frac{\partial Z}{\partial x}dx + \frac{\partial Z}{\partial y}dy \).

1. Найдем частную производную функции \( Z = x^3 - y^3 \) по \( x \):
   \( \frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 - y^3) = 3x^2 \).
2. Найдем частную производную функции \( Z = x^3 - y^3 \) по \( y \):
   \( \frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 - y^3) = -3y^2 \).
3. Подставим найденные производные в формулу полного дифференциала: \( dZ = 3x^2dx - 3y^2dy \).
4. Теперь вычислим значение полного дифференциала в точке \( P_0(1, 1) \). Подставим \( x=1 \) и \( y=1 \) в выражение для \( dZ \):
   \( dZ = 3(1)^2dx - 3(1)^2dy = 3dx - 3dy \).

Ответ: 3dx - 3dy.