12. Полоску бумаги разрезали на 4 части. После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на 4 части. Затем снова самую большую из полученных частей разрезали на 4 части. Так поступили много раз: на каждом шаге самую большую часть разрезали на 4 части. Могло ли в итоге получиться 293 части?

Пусть $$n$$ - количество разрезаний. После первого разрезания у нас 4 части. После второго разрезания у нас $$4 - 1 + 4 = 7$$ частей. То есть каждое разрезание добавляет 3 части. После $$n$$ разрезаний у нас будет $$4 + 3(n-1)$$ частей. Нужно узнать, существует ли такое целое число $$n$$, что $$4 + 3(n-1) = 293$$ $$4 + 3n - 3 = 293$$ $$3n + 1 = 293$$ $$3n = 292$$ $$n = \frac{292}{3} = 97\frac{1}{3}$$ Так как $$n$$ не является целым числом, то получить 293 части невозможно. Ответ: Нет, не могло.