Полугодовая контрольная работа по алгебре (7 класс) Вариант 3 Фамилия, имя: 1) Постройте график функции: у = \frac{2}{3} х - 5. 2) Упростите выражения: a) 4(3x-2)-3(2x+5) + 2x – 1; b) \frac{a^6b^3}{a^2b^7} \cdot \frac{b^4}{a^2}. 3) Решите уравнения: a) \frac{3x-2}{4} - \frac{2x +5}{6} = 1; b) \frac{5x-1}{3} + \frac{x+4}{8} = 2; c) (2x - 3)(x + 4) - (x - 5)(x + 1) = 19. 4) Разложите на множители: a) 12x² - 18x; b) 4y² - 49; c) x² - 2xy + 5x - 10y. 5) Вычислите: \frac{36^3\cdot15^2}{25\cdot12^5}.

1) Чтобы построить график функции y = \frac{2}{3}x - 5, нужно:

1. Определить, что это линейная функция вида y = kx + b, где k = \frac{2}{3} и b = -5.
2. Найти две точки, через которые проходит прямая. Например:
• Если x = 0, то y = \frac{2}{3}(0) - 5 = -5. Получаем точку (0, -5).
• Если x = 3, то y = \frac{2}{3}(3) - 5 = 2 - 5 = -3. Получаем точку (3, -3).
3. Отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

2) Упростите выражения:

a) 4(3x-2)-3(2x+5) + 2x – 1

1. Раскрываем скобки: 12x - 8 - 6x - 15 + 2x - 1
2. Приводим подобные слагаемые: (12x - 6x + 2x) + (-8 - 15 - 1) = 8x - 24

Ответ: 8x - 24

b) \frac{a^6b^3}{a^2b^7} \cdot \frac{b^4}{a^2}

1. Упрощаем первую дробь: \frac{a^6b^3}{a^2b^7} = \frac{a^{6-2}}{b^{7-3}} = \frac{a^4}{b^4}
2. Умножаем на вторую дробь: \frac{a^4}{b^4} \cdot \frac{b^4}{a^2} = \frac{a^4b^4}{a^2b^4} = a^{4-2} = a^2

Ответ: a²

3) Решите уравнения:

a) \frac{3x-2}{4} - \frac{2x +5}{6} = 1

1. Приведем дроби к общему знаменателю 12: \frac{3(3x-2)}{12} - \frac{2(2x +5)}{12} = \frac{12}{12}
2. Умножим обе части уравнения на 12: 3(3x - 2) - 2(2x + 5) = 12
3. Раскроем скобки: 9x - 6 - 4x - 10 = 12
4. Приведем подобные слагаемые: 5x - 16 = 12
5. Перенесем -16 в правую часть: 5x = 12 + 16
6. 5x = 28
7. x = \frac{28}{5} = 5.6

Ответ: 5.6

b) \frac{5x-1}{3} + \frac{x+4}{8} = 2

1. Приведем дроби к общему знаменателю 24: \frac{8(5x-1)}{24} + \frac{3(x+4)}{24} = \frac{48}{24}
2. Умножим обе части уравнения на 24: 8(5x - 1) + 3(x + 4) = 48
3. Раскроем скобки: 40x - 8 + 3x + 12 = 48
4. Приведем подобные слагаемые: 43x + 4 = 48
5. Перенесем 4 в правую часть: 43x = 48 - 4
6. 43x = 44
7. x = \frac{44}{43}

Ответ: \frac{44}{43}

c) (2x - 3)(x + 4) - (x - 5)(x + 1) = 19

1. Раскроем скобки: (2x² + 8x - 3x - 12) - (x² + x - 5x - 5) = 19
2. 2x² + 5x - 12 - x² + 4x + 5 = 19
3. Приведем подобные слагаемые: x² + 9x - 7 = 19
4. Перенесем 19 в левую часть: x² + 9x - 7 - 19 = 0
5. x² + 9x - 26 = 0
6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = b² - 4ac = 9² - 4(1)(-26) = 81 + 104 = 185
7. x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{185}}{2}
8. x₁ = \frac{-9 + \sqrt{185}}{2}, x₂ = \frac{-9 - \sqrt{185}}{2}

Ответ: x₁ = \frac{-9 + \sqrt{185}}{2}, x₂ = \frac{-9 - \sqrt{185}}{2}

4) Разложите на множители:

a) 12x² - 18x

1. Вынесем общий множитель 6x за скобки: 6x(2x - 3)

Ответ: 6x(2x - 3)

b) 4y² - 49

1. Это разность квадратов: (2y)² - 7² = (2y - 7)(2y + 7)

Ответ: (2y - 7)(2y + 7)

c) x² - 2xy + 5x - 10y

1. Сгруппируем члены: (x² - 2xy) + (5x - 10y)
2. Вынесем общие множители из каждой группы: x(x - 2y) + 5(x - 2y)
3. Вынесем общий множитель (x - 2y) за скобки: (x - 2y)(x + 5)

Ответ: (x - 2y)(x + 5)

5) Вычислите:

\frac{36^3\cdot15^2}{25\cdot12^5}

1. Представим числа в виде произведения простых множителей:
2. 36 = 2² \cdot 3², 15 = 3 \cdot 5, 25 = 5², 12 = 2² \cdot 3
3. Подставим в выражение:
4. \frac{(2^2 \cdot 3^2)^3\cdot(3\cdot5)^2}{5^2\cdot(2^2\cdot3)^5} = \frac{2^6\cdot3^6\cdot3^2\cdot5^2}{5^2\cdot2^{10}\cdot3^5} = \frac{2^6\cdot3^8\cdot5^2}{5^2\cdot2^{10}\cdot3^5} = 2^{6-10}\cdot3^{8-5} = 2^{-4}\cdot3^3 = \frac{3^3}{2^4} = \frac{27}{16}

Ответ: \frac{27}{16}