Пользуясь данными рисунка, найдите периметр треугольника АВС.

Для решения задачи необходимо найти длины всех сторон треугольника ABC и сложить их.

1. Рассмотрим треугольник AKC. Он прямоугольный, так как угол C прямой. Мы знаем, что AK = 9 и AC = 15. Используем теорему Пифагора для нахождения KC:

$$AC^2 = AK^2 + KC^2$$ $$15^2 = 9^2 + KC^2$$ $$225 = 81 + KC^2$$ $$KC^2 = 225 - 81 = 144$$ $$KC = \sqrt{144} = 12$$

2. Так как KC = 12 и угол C - прямой, то треугольник ABC - прямоугольный. AC = 15 - катет. Чтобы найти CB, нужно рассмотреть треугольник ABC. Чтобы найти AB, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника AKC и теоремой о том, что если высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла, то высота есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу.

3. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Угол C прямой. Сторона AC = 15. Нужно найти AB и BC.

4. Снова вернемся к треугольнику AKC, АК = 9, КС = 12. Теперь рассмотрим треугольник KBC. Он прямоугольный, т.к. угол K прямой. Для нахождения катета BC сначала нужно найти гипотенузу AB.

$$AB = AK + KB$$

5. Так как CK – высота, проведенная из вершины прямого угла C к гипотенузе AB, то по свойству высоты прямоугольного треугольника:

$$CK^2 = AK * KB$$ $$12^2 = 9 * KB$$ $$144 = 9 * KB$$ $$KB = \frac{144}{9} = 16$$ $$AB = AK + KB = 9 + 16 = 25$$

6. Теперь по теореме Пифагора находим CB:

$$AB^2 = AC^2 + CB^2$$ $$25^2 = 15^2 + CB^2$$ $$625 = 225 + CB^2$$ $$CB^2 = 625 - 225 = 400$$ $$CB = \sqrt{400} = 20$$

7. Находим периметр треугольника ABC:

$$P = AC + CB + AB = 15 + 20 + 25 = 60$$

Ответ: 60