Пользуясь графической иллюстрацией, определить число корней уравнения 22. 6 (1/3)^x = 2-(x-1)^2.

Решение:

Для определения числа корней уравнения \( \left( \frac{1}{3} \right)^x = 2 - (x-1)^2 \) построим графики двух функций: \( y_1 = \left( \frac{1}{3} \right)^x \) и \( y_2 = 2 - (x-1)^2 \).

1. График функции \( y_1 = \left( \frac{1}{3} \right)^x \) — это убывающая экспонента, проходящая через точку \( (0; 1) \).

2. График функции \( y_2 = 2 - (x-1)^2 \) — это парабола с ветвями, направленными вниз, вершиной в точке \( (1; 2) \).

Найдем точки пересечения графиков.

Если \( x = 0 \), то \( y_1 = \left( \frac{1}{3} \right)^0 = 1 \), а \( y_2 = 2 - (0-1)^2 = 2 - 1 = 1 \). Значит, \( (0, 1) \) — точка пересечения.

Если \( x = 1 \), то \( y_1 = \left( \frac{1}{3} \right)^1 = \frac{1}{3} \), а \( y_2 = 2 - (1-1)^2 = 2 - 0 = 2 \). Точка \( (1, 2) \) — вершина параболы.

Если \( x = 2 \), то \( y_1 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \), а \( y_2 = 2 - (2-1)^2 = 2 - 1 = 1 \). Точка \( (2, 1) \).

Визуально, или при более точном построении, можно увидеть, что графики пересекаются в двух точках. Одна точка — \( (0, 1) \). Вторая точка находится при \( x > 1 \), где убывающая экспонента пересекает параболу.

Ответ: 2.