Пользуясь теорией об отрезках пересекающихся хорд, докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Решение: Теорема о пересекающихся хордах гласит, что если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды. Пусть дана окружность с диаметром AB. Проведем перпендикуляр CD из точки C на окружности к диаметру AB. Пусть точка E - основание перпендикуляра на диаметре AB. Тогда необходимо доказать, что CE² = AE * EB. Рассмотрим хорду CC', проходящую через точку C перпендикулярно диаметру AB. Тогда CD - перпендикуляр к диаметру AB, и точка E является серединой хорды CC'. Следовательно, CE = EC'. Применим теорему о пересекающихся хордах к хордам CC' и AB, пересекающимся в точке E: AE * EB = CE * EC' Так как CE = EC', то AE * EB = CE². Таким образом, доказано, что CE² = AE * EB, что означает, что CE есть среднее пропорциональное между AE и EB. Ответ: Доказано, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.