Пользуясь цифрами 1, 7, 9, запиши разные трёхзначные числа. Верно ли утверждение, что все эти числа являются простыми? (Смотри таблицу простых чисел.) Запиши пять произведений, в которых первый множитель — трёхзначное простое число, а второй — двузначное простое число. Вычисли их значения. Докажи, что произведение двух простых чисел не может быть простым числом. Известно, что a — двузначное число, которое делится на 4. Простым или составным является число a? Запиши пять двузначных чисел, удовлетворяющих данному условию. Известно, что b — двузначное число, которое делится на 5. Простым или составным является число b? Запиши пять двузначных чисел, удовлетворяющих данному условию.

Переставляя цифры 1, 7, 9, получаем числа 179, 197, 719, 791, 917, 971. Числа 791 и 917 составные: 791 = 7 · 113, 917 = 7 · 131. Остальные четыре числа простые (их делители меньше или равные квадратному корню не дают деления без остатка). Следовательно, утверждение неверно: не все полученные числа простые.

Пять примеров произведений трёхзначного простого и двузначного простого чисел:

1. 101 · 11 = 1111;
2. 103 · 13 = 1339;
3. 107 · 17 = 1819;
4. 109 · 19 = 2071;
5. 113 · 23 = 2599.

Если p и q — простые числа, то p больше 1 и q больше 1. В произведении p · q число p является делителем, отличным от 1 и самого произведения, поскольку q больше 1. Значит, произведение имеет делитель, кроме 1 и самого себя, и является составным.

Двузначное число a, делящееся на 4, обязательно составное: оно делится на 4, а значит, имеет делители 2 и 4. Например: 12, 16, 20, 24, 28 — все составные.

Двузначное число b, делящееся на 5, оканчивается на 0 или 5. Если оно оканчивается на 0, оно составное; если оканчивается на 5, оно также составное, так как делится на 5 и больше 5. Например: 10, 15, 20, 25, 30 — все составные.

Ответ: простыми среди перестановок являются 179, 197, 719 и 971; числа a и b всегда составные.