Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Пусть \( P(A) \) - вероятность того, что лампа перегорит в течение года. По условию, \( P(A) = 0.3 \).

Пусть \( P(\bar{A}) \) - вероятность того, что лампа НЕ перегорит в течение года. Тогда \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7 \).

Фонарь имеет две лампы. Вероятность того, что первая лампа не перегорит, равна \( 0.7 \). Вероятность того, что вторая лампа не перегорит, также равна \( 0.7 \).

События независимы, поэтому вероятность того, что ОБЕ лампы не перегорят, равна произведению их вероятностей: \( P(\text{обе не перегорят}) = P(\bar{A}_1) \times P(\bar{A}_2) = 0.7 \times 0.7 = 0.49 \).

Нам нужно найти вероятность того, что хотя бы одна лампа НЕ перегорит. Это противоположное событие тому, что ОБЕ лампы перегорят.

Вероятность того, что первая лампа перегорит, равна \( 0.3 \). Вероятность того, что вторая лампа перегорит, равна \( 0.3 \).

Вероятность того, что ОБЕ лампы перегорят: \( P(\text{обе перегорят}) = P(A_1) \times P(A_2) = 0.3 \times 0.3 = 0.09 \).

Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, равна 1 минус вероятность того, что обе лампы перегорят: \( P(\text{хотя бы одна не перегорит}) = 1 - P(\text{обе перегорят}) = 1 - 0.09 = 0.91 \).

Альтернативный способ:

Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, может быть найдена как сумма вероятностей следующих событий:

• Первая лампа не перегорит, вторая перегорит: \( 0.7 \times 0.3 = 0.21 \).
• Первая лампа перегорит, вторая не перегорит: \( 0.3 \times 0.7 = 0.21 \).
• Обе лампы не перегорят: \( 0.7 \times 0.7 = 0.49 \).

Сложим эти вероятности: \( 0.21 + 0.21 + 0.49 = 0.91 \).

Ответ: 0.91