581 Последовательность (гₙ) задана формулой п-го члена: 2 = n- 1. n 1) Выпишите все члены этой последовательности, меньшие 10. Сколько таких членов? 2) Сравните 2₁₀ - 2₉ и 2₁₀₀ - 2₉₉.

1) Выпишем все члены последовательности, меньшие 10.

Последовательность задана формулой $$z_n = n - \frac{1}{n}$$.

Вычислим несколько первых членов последовательности:

• $$z_1 = 1 - \frac{1}{1} = 0$$
• $$z_2 = 2 - \frac{1}{2} = 1.5$$
• $$z_3 = 3 - \frac{1}{3} = 2\frac{2}{3}$$
• $$z_4 = 4 - \frac{1}{4} = 3.75$$
• $$z_5 = 5 - \frac{1}{5} = 4.8$$
• $$z_6 = 6 - \frac{1}{6} = 5\frac{5}{6}$$
• $$z_7 = 7 - \frac{1}{7} = 6\frac{6}{7}$$
• $$z_8 = 8 - \frac{1}{8} = 7.875$$
• $$z_9 = 9 - \frac{1}{9} = 8\frac{8}{9}$$
• $$z_{10} = 10 - \frac{1}{10} = 9.9$$
• $$z_{11} = 11 - \frac{1}{11} = 10\frac{10}{11}$$

Члены последовательности, меньшие 10: 0; 1,5; $$2\frac{2}{3}$$; 3,75; 4,8; $$5\frac{5}{6}$$; $$6\frac{6}{7}$$; 7,875; $$8\frac{8}{9}$$; 9,9. Таких членов 10.

2) Сравним $$z_{10} - z_9$$ и $$z_{100} - z_{99}$$.

Найдем разность $$z_{10} - z_9$$:

$$z_{10} - z_9 = (10 - \frac{1}{10}) - (9 - \frac{1}{9}) = 10 - \frac{1}{10} - 9 + \frac{1}{9} = 1 - \frac{1}{10} + \frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = 1 + \frac{10 - 9}{90} = 1 + \frac{1}{90} = 1\frac{1}{90}$$.

Найдем разность $$z_{100} - z_{99}$$:

$$z_{100} - z_{99} = (100 - \frac{1}{100}) - (99 - \frac{1}{99}) = 100 - \frac{1}{100} - 99 + \frac{1}{99} = 1 - \frac{1}{100} + \frac{1}{99} = 1 + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} = 1 + \frac{100 - 99}{9900} = 1 + \frac{1}{9900} = 1\frac{1}{9900}$$.

Сравним значения $$1\frac{1}{90}$$ и $$1\frac{1}{9900}$$. Очевидно, что $$1\frac{1}{90} > 1\frac{1}{9900}$$.

Следовательно, $$z_{10} - z_9 > z_{100} - z_{99}$$.

Ответ: 1) 10 членов; 2) $$z_{10} - z_9 > z_{100} - z_{99}$$.