Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Последовательность \(x_n\) удовлетворяет условиям \(x_1=20\); \(x_{n+1}=x_n\cdot x_{n+2}\) для любого натурального \(n\).…Фото задания

Ответ:

Из условия получаем рекуррентную формулу:

\(x_{n+2}=\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\).

Обозначим \(x_2=a\), где \(a\ne0\). Тогда:

  1. \(x_1=20\);
  2. \(x_2=a\);
  3. \(x_3=\dfrac{a}{20}\);
  4. \(x_4=\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{1}{20}\);
  5. \(x_5=\dfrac{x_4}{x_3}=\dfrac{1}{a}\);
  6. \(x_6=\dfrac{x_5}{x_4}=\dfrac{20}{a}\).

Следующие два члена повторяют первые:

\(x_7=20=x_1\), \(x_8=a=x_2\). Значит, последовательность имеет период 6.

Поскольку \(2044=6\cdot340+4\), то \(x_{2044}=x_4\).

Ответ: \(x_{2044}=\dfrac{1}{20}\).