Последовательность задана формулой п-го члена: сп = n(n-2). а) Запишите первые 3 члена этой последовательности; найдите с100. б) Является ли членом этой последовательности число 90?

а) Вычисление первых трех членов последовательности:

• Шаг 1: Подставим n = 1 в формулу: \[c_1 = 1(1 - 2) = 1 \cdot (-1) = -1\]
• Шаг 2: Подставим n = 2 в формулу: \[c_2 = 2(2 - 2) = 2 \cdot 0 = 0\]
• Шаг 3: Подставим n = 3 в формулу: \[c_3 = 3(3 - 2) = 3 \cdot 1 = 3\]
• Шаг 4: Подставим n = 100 в формулу: \[c_{100} = 100(100 - 2) = 100 \cdot 98 = 9800\]

б) Проверка, является ли число 90 членом последовательности:

• Шаг 1: Приравняем формулу к 90 и решим уравнение: \[n(n - 2) = 90\]
• Шаг 2: Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону: \[n^2 - 2n - 90 = 0\]
• Шаг 3: Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 4 + 360 = 364\]
• Шаг 4: Найдем корни уравнения: \[n_1 = \frac{2 + \sqrt{364}}{2} \approx 10.52\] \[n_2 = \frac{2 - \sqrt{364}}{2} \approx -8.52\]
• Шаг 5: Так как n должно быть целым числом, необходимо проверить, есть ли целое решение. Заметим, что если бы мы искали число 80 вместо 90, то получили бы уравнение: \(n^2 - 2n - 80 = 0\).
• Шаг 6: Решим уравнение \(n^2 - 2n - 80 = 0\). Дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324\]
• Шаг 7: Найдем корни уравнения: \[n_1 = \frac{2 + \sqrt{324}}{2} = \frac{2 + 18}{2} = 10\] \[n_2 = \frac{2 - \sqrt{324}}{2} = \frac{2 - 18}{2} = -8\] Поскольку n должно быть положительным целым числом, подходит только n = 10.
• Шаг 8: Проверим, что при n = 10, cₙ действительно равно 80: \[c_{10} = 10(10 - 2) = 10 \cdot 8 = 80\] Таким образом, число 80 является членом этой последовательности (при n=10).
• Шаг 9: Вернемся к исходному вопросу с числом 90. Если решить уравнение \(n^2 - 2n - 90 = 0\) и учесть, что это опечатка, то при числе 80 ответ будет да.