Последовательность задана условиями: $a_1=5$, $a_{n+1}=\dfrac{a_n-1}{a_n+1}$ при всех натуральных $n$. Найдите $a_{2002}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Последовательность задана условиями: $a_1=5$, $a_{n+1}=\dfrac{a_n-1}{a_n+1}$ при всех натуральных $n$. Найдите…$ Фото задания

Accepted Answer

Вычислим первые члены по рекуррентной формуле:

$a_2=\dfrac{5-1}{5+1}=\dfrac{2}{3}$.

$a_3=\dfrac{\frac{2}{3}-1}{\frac{2}{3}+1}=-\dfrac{1}{5}$.

$a_4=\dfrac{-\frac{1}{5}-1}{-\frac{1}{5}+1}=-\dfrac{3}{2}$.

$a_5=\dfrac{-\frac{3}{2}-1}{-\frac{3}{2}+1}=5=a_1$. Значит, последовательность периодическая с периодом 4.

Так как $2002\equiv 2\pmod 4$, получаем $a_{2002}=a_2$.

Ответ: $\dfrac{2}{3}$.

Последовательность задана условиями: \(a_1=5\), \(a_{n+1}=\dfrac{a_n-1}{a_n+1}\) при всех натуральных \(n\). Найдите \(a_{2002}\).