Построение предложения с деепричастным оборотом «...» является нормативным

Решение:

Деепричастный оборот должен относиться к подлежащему. Если деепричастный оборот стоит в начале предложения, то он, как правило, относится к подлежащему. Если в предложении нет подлежащего, или деепричастный оборот не связан с ним грамматически, предложение является ошибочным.

Проанализируем предложенные варианты:

• «подъезжая к дачному посёлку, детские воспоминания начали оживать в моей памяти» — Здесь «детские воспоминания» — подлежащее, а «подъезжая» относится к нему. Ошибки нет.
• «освоив наш видеокурс, языковой барьер перестанет вас беспокоить» — Здесь «языковой барьер» — подлежащее, но «освоив» не может относиться к «языковому барьеру». Ошибка.
• «записавшись на приём к врачу, пациент получает талон» — Здесь «пациент» — подлежащее, и «записавшись» относится к нему. Ошибки нет.
• «поглядывая в окно, предчувствия Веры начинали её беспокоить» — Здесь «предчувствия Веры» — подлежащее, а «поглядывая» не может относиться к «предчувствиям». Ошибка.

Таким образом, нормативными являются предложения 1 и 3.

Ответ: подъезжая к дачному посёлку, детские воспоминания начали оживать в моей памяти; записавшись на приём к врачу, пациент получает талон.