Построение сечений многогранников плоскостью. На рисунках 14, а, б изображён правильный тетраэдр ABCD, длина ребра которого равна 16. Найдите площадь сечения, проведённого через плоскости: 1) ADH (K — середина отрезка CD, H — середина отрезка BC); 2) PBK (CK:KD = 3:5, P — середина отрезка AD).

1) Плоскость через A, D и H пересекает тетраэдр по треугольнику ADH. В равностороннем треугольнике ABC медиана AH равна \(8\sqrt{3}\).

Угол между AD и AH имеет косинус \(\frac{1}{\sqrt{3}}\): проекция AD на плоскость ABC направлена к центру ABC, а её длина равна \(\frac{16}{\sqrt{3}}\). Поэтому \(\sin\angle DAH=\sqrt{\frac{2}{3}}\).

\(S_{ADH}=\frac12\cdot16\cdot8\sqrt3\cdot\sqrt{\frac23}=64\sqrt2\).

2) Плоскость через P, B и K пересекает тетраэдр по треугольнику BPK. Так как P — середина AD, в равностороннем треугольнике ABD медиана \(BP=8\sqrt3\).

В равностороннем треугольнике ACD положим \(A=(0,0)\), \(D=(16,0)\), \(C=(8,8\sqrt3)\). Тогда \(P=(8,0)\), а из условия \(CK:KD=3:5\) получаем \(K=(11,5\sqrt3)\). Следовательно, \(PK=2\sqrt{21}\). Угол между PB и PK удовлетворяет \(\cos\angle BPK=\frac{1}{\sqrt7}\), поэтому \(\sin\angle BPK=\sqrt{\frac67}\).

\(S_{BPK}=\frac12\cdot8\sqrt3\cdot2\sqrt{21}\cdot\sqrt{\frac67}=24\sqrt6\).

Ответ: 1) \(64\sqrt2\); 2) \(24\sqrt6\).