Построены прямоугольник и квадрат одинакового периметра. Известно, что площадь прямоугольника равна 24 см² и его диагонали пересекаются под углом 30°. Определите площадь квадрата.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника a и b, тогда его площадь S = a × b. Из условия задачи известно, что S = 24 см². Следовательно, a × b = 24.

Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 30°. Рассмотрим половину этого угла, то есть угол в 15°. Тогда можно записать:

tg(15°) = (b - a) / (b + a)

Используем формулу тангенса половинного угла: tg(x/2) = (1 - cos(x)) / sin(x). В нашем случае x = 30°:

tg(15°) = (1 - cos(30°)) / sin(30°) = (1 - √3/2) / (1/2) = 2 - √3

Таким образом, (b - a) / (b + a) = 2 - √3

Выразим b через a из уравнения площади: b = 24 / a. Подставим это в уравнение с тангенсом:

((24/a) - a) / ((24/a) + a) = 2 - √3

(24 - a²) / (24 + a²) = 2 - √3

24 - a² = (2 - √3) × (24 + a²)

24 - a² = 48 - 24√3 + 2a² - √3a²

3a² - √3a² = 24√3 - 24

a²(3 - √3) = 24(√3 - 1)

a² = 24(√3 - 1) / (3 - √3)

a² = 24(√3 - 1) / (√3(√3 - 1))

a² = 24 / √3 = 8√3

a = √(8√3) ≈ 3.72

b = 24 / √(8√3) = 24 / 3.72 ≈ 6.45

Периметр прямоугольника P = 2 × (a + b) = 2 × (3.72 + 6.45) = 2 × 10.17 = 20.34 см.

Пусть сторона квадрата равна x. Так как периметры равны, то 4x = 20.34.

x = 20.34 / 4 = 5.085 см.

Площадь квадрата S_кв = x² = (5.085)² ≈ 25.86 см².

Округлим до целого числа: S_кв ≈ 26 см².

Ответ: 26