Построить эпюру изгибающих моментов и выполнить расчет квадратного бруса на прочность, при условии, что предельно допустимое нормальное напряжение при изгибе: [σ] ≤ 100 МПа.

Задача: Расчет квадратного бруса на прочность

1. Построение эпюры изгибающих моментов:

Рассмотрим консольную балку длиной 4 м, на которую действует сила F = 100 Н на расстоянии 2 м от заделки.

Изгибающий момент \( M(x) \) в любом сечении балки рассчитывается как произведение силы \( F \) на расстояние от сечения до точки приложения силы.

В данном случае сила приложена на расстоянии 2 м от опоры. Расстояние от заделки до конца балки — 4 м.

Для сечений от 0 до 2 м (от заделки до точки приложения силы):

\( M(x) = F \cdot (2 - x) \)

Максимальный момент будет в точке приложения силы (x=2м):

\[ M_{max} = 100 \text{ Н} \cdot (2 - 2) \text{ м} = 0 \text{ Н·м} \]

Для сечений от 2 м до 4 м:

\( M(x) = F \cdot (4 - x) \) (приведенная длина, неправильное применение)

Правильный подход:

Максимальный изгибающий момент будет в точке приложения силы, а не в конце балки. Сила F = 100 Н действует на расстоянии 2 м от заделки.

Момент в любом сечении \( x \) от заделки (0 ≤ \( x \) ≤ 4 м) рассчитывается как:

\[ M(x) = -F \cdot (2 - x) \]

Знак минус указывает на то, что момент создает изгиб «вниз».

Максимальный по абсолютной величине момент будет в заделке (x = 0):

\[ M_{max} = -100 \text{ Н} \cdot (2 - 0) \text{ м} = -200 \text{ Н·м} \]

Эпюра изгибающих моментов будет представлять собой треугольник, с максимальным значением \( |M| = 200 \text{ Н·м} \) в заделке.

2. Расчет квадратного бруса на прочность:

Дано:

• Максимальный изгибающий момент: \( |M|_{max} = 200 \text{ Н·м} \)
• Предельно допустимое нормальное напряжение: \( [\sigma] = 100 \text{ МПа} = 100 \cdot 10^6 \text{ Па} \)
• Сечение бруса — квадрат со стороной \( a = 0.1 \text{ м} \)

Для расчета на прочность используется формула:

\[ \sigma_{max} = \frac{|M|_{max}}{W} \le [\sigma] \]

где \( W \) — момент сопротивления сечения.

Для квадратного сечения со стороной \( a \) момент сопротивления относительно нейтральной оси равен:

\[ W = \frac{a^3}{6} \]

Рассчитаем момент сопротивления для данного сечения:

\[ W = \frac{(0.1 \text{ м})^3}{6} = \frac{0.001 \text{ м}^3}{6} \approx 0.0001667 \text{ м}^3 \]

Теперь рассчитаем максимальное нормальное напряжение в брусе:

\[ \sigma_{max} = \frac{200 \text{ Н·м}}{0.0001667 \text{ м}^3} \approx 1200000 \text{ Па} = 1.2 \text{ МПа} \]

Сравним полученное напряжение с допустимым:

\[ 1.2 \text{ МПа} \le 100 \text{ МПа} \]

Условие прочности выполняется.

Ответ:

Эпюра изгибающих моментов: линейно изменяющаяся функция, максимальное значение \( |M|_{max} = 200 \text{ Н·м} \) в заделке.

Расчет на прочность: максимальное напряжение \( \sigma_{max} \approx 1.2 \text{ МПа} \), что меньше допустимого \( [\sigma] = 100 \text{ МПа} \). Брус прочен.