Построить эпюру продольных сил и нормальных напряжений, для заданного стержня.

Решение:

Задано два участка стержня с различными условиями нагружения.

Участок 1 (верхний):

• Длина участка: \( l_1 = 1.7 \) м.
• Площадь поперечного сечения: \( A_1 = 2A \).
• Приложенная сила: \( F_2 = 60 \) кН (направлена вверх).

Участок 2 (нижний):

• Длина участка: \( l_2 = 1.4 \) м.
• Площадь поперечного сечения: \( A_2 = 6 \) см².
• Приложенная сила: \( F_1 = 40 \) кН (направлена вниз).

Анализ:

Для построения эпюр необходимо рассмотреть стержень как единое целое и определить продольные силы в каждом сечении.

1. В верхней части стержня действует сила \( F_2 = 60 \) кН, направленная вверх. Если принять направленность продольной силы \( N \) как положительную при растяжении, то в верхней части возникает растяжение.
2. В нижней части стержня действует сила \( F_1 = 40 \) кН, направленная вниз.
3. Переход между участками: В месте соединения участков продольная сила будет меняться.

Построение эпюр:

1. Эпюра продольных сил (N):

• В верхнем участке, непосредственно под опорой, действие силы \( F_2 \) приведет к растяжению. Продольная сила \( N_1 \) будет равна \( 60 \) кН.
• На нижнем участке действует сила \( F_1 \) = \( 40 \) кН, направленная вниз. Если стержень рассматривать как единое целое, то точка приложения силы \( F_1 \) находится ниже точки приложения силы \( F_2 \).
• Для точного определения продольных сил необходимо проанализировать равновесие всего стержня. Предположим, что \( F_1 \) и \( F_2 \) приложены к стержню.
• Продольная сила в верхней части: \( N_1 = F_2 = 60 \) кН (растяжение).
• Продольная сила в нижнем участке: \( N_2 \) будет зависеть от суммарного воздействия. Если \( F_1 \) и \( F_2 \) действуют на разные части стержня, и нет других нагрузок, то в нижнем участке сила будет \( F_1 \), но её направление и влияние на \( N_2 \) зависит от общей схемы.
• Предположим, что стержень растягивается/сжимается под действием этих двух сил.
• Начало стержня (слева, под опорой): \( N = +60 \) кН (растяжение).
• На границе между участками: \( N = +60 \) кН (растяжение).
• Нижний участок: \( N = +60 \) кН (растяжение, так как \( F_1 \) приложена ниже и не компенсирует \( F_2 \) полностью, если рассматривать как единое целое).
• НО! Если \( F_1 \) и \( F_2 \) действуют как показано на схеме, то продольные силы будут разные. \( F_2 \) создает растяжение \( +60 \) кН в верхнем участке. \( F_1 \) создает сжатие \( -40 \) кН в нижнем участке.
• Эпюра N:
• В верхнем участке (длина 1.7 м): \( N(x) = +60 \) кН (постоянная).
• В нижнем участке (длина 1.4 м): \( N(x) = -40 \) кН (постоянная).

2. Эпюра нормальных напряжений (\(\sigma\)):

Нормальное напряжение \( \sigma = \frac{N}{A} \).

• Участок 1: \( A_1 = 2A \). \( \sigma_1 = \frac{60}{2A} = \frac{30}{A} \) кН/мм² (растяжение).
• Участок 2: \( A_2 = 6 \) см². \( \sigma_2 = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3} \) кН/см² (сжатие).

Графическое представление:

Для построения эпюр необходимо знать значение \( A \) в см². Если \( A \) — это площадь, то \( A_1 = 2A \) и \( A_2 = 6 \) см². Неясно, чему равно \( A \).

Предполагая, что \( A = 6 \) см², тогда \( A_1 = 2 \times 6 = 12 \) см².

• Участок 1 (верхний): \( N_1 = +60 \) кН, \( A_1 = 12 \) см². \( \sigma_1 = \frac{60}{12} = +5 \) кН/см² (растяжение).
• Участок 2 (нижний): \( N_2 = -40 \) кН, \( A_2 = 6 \) см². \( \sigma_2 = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3} \approx -6.67 \) кН/см² (сжатие).

Эпюры будут выглядеть следующим образом:

Эпюра N:

• На участке длиной 1.7 м: постоянная положительная линия на уровне +60 кН.
• На участке длиной 1.4 м: постоянная отрицательная линия на уровне -40 кН.

Эпюра \(\sigma\):

• На участке длиной 1.7 м: постоянная положительная линия на уровне +5 кН/см².
• На участке длиной 1.4 м: постоянная отрицательная линия на уровне -6.67 кН/см².

Примечание: Если \( A \) не равно \( 6 \) см², то значения \( \sigma_1 \) будут другими. Требуется уточнение значения \( A \).

Ответ: Эпюры продольных сил и нормальных напряжений строятся на основе рассчитанных значений \( N \) и \( \sigma \) для каждого участка стержня, с учетом их длины и площади поперечного сечения.