Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса, если F1=17кН, F2=13 кН, F3=8 кН, А1=2 см², А2=2,5 см².

Решение:

Для решения данной задачи необходимо последовательно определить продольные силы в каждом участке бруса, рассчитать нормальные напряжения и затем найти перемещение свободного конца.

1. Определение продольных сил (N)

Разделим брус на участки:

• Участок 1 (левый, от заделки до F3): \( N_1 = F_3 = 8 \) кН.
• Участок 2 (средний, между F3 и F2): \( N_2 = F_3 - F_2 = 8 - 13 = -5 \) кН.
• Участок 3 (правый, между F2 и F1): \( N_3 = F_3 - F_2 - F_1 = 8 - 13 - 17 = -22 \) кН.

2. Расчет нормальных напряжений (\(\sigma\))

Формула нормального напряжения: \( \sigma = \frac{N}{A} \)

Где \( A \) — площадь поперечного сечения.

• Участок 1: \( A_1 = 2 \) см² = \( 2 \times 10^{-4} \) м². \( \sigma_1 = \frac{8 \times 10^3 \text{ Н}}{2 \times 10^{-4} \text{ м}^2} = 40 \times 10^6 \text{ Па} = 40 \) МПа.
• Участок 2: \( A_2 = 2.5 \) см² = \( 2.5 \times 10^{-4} \) м². \( \sigma_2 = \frac{-5 \times 10^3 \text{ Н}}{2.5 \times 10^{-4} \text{ м}^2} = -20 \times 10^6 \text{ Па} = -20 \) МПа.
• Участок 3: \( A_2 = 2.5 \) см² = \( 2.5 \times 10^{-4} \) м². \( \sigma_3 = \frac{-22 \times 10^3 \text{ Н}}{2.5 \times 10^{-4} \text{ м}^2} = -88 \times 10^6 \text{ Па} = -88 \) МПа.

3. Определение перемещения свободного конца

Перемещение (\(\Delta L\)) рассчитывается по формуле: \( \Delta L = \frac{N \cdot L}{A · E} \), где \( E \) — модуль упругости материала (примем \( E = 200 \times 10^9 \) Па, для стали).

Длины участков:

• \( L_1 = 0.3 \) м
• \( L_2 = 0.5 \) м
• \( L_3 = 0.5 + 0.2 = 0.7 \) м (общая длина правого участка)

Общее перемещение свободного конца: \( \delta = \sum \frac{N_i L_i}{A_i E} \)

• Участок 1: \( \delta_1 = \frac{(8 \times 10^3 \text{ Н}) \cdot (0.3 \text{ м})}{(2 \times 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (200 \times 10^9 \text{ Па})} = \frac{2400}{40 \times 10^5} = 0.0006 \text{ м} = 0.6 \) мм.
• Участок 2: \( \delta_2 = \frac{(-5 \times 10^3 \text{ Н}) \cdot (0.5 \text{ м})}{(2.5 \times 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (200 \times 10^9 \text{ Па})} = \frac{-2500}{50 \times 10^5} = -0.0005 \text{ м} = -0.5 \) мм.
• Участок 3: \( \delta_3 = \frac{(-22 \times 10^3 \text{ Н}) \cdot (0.7 \text{ м})}{(2.5 \times 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (200 \times 10^9 \text{ Па})} = \frac{-15400}{50 \times 10^5} = -0.00308 \text{ м} = -3.08 \) мм.

Суммарное перемещение: \( \delta = \delta_1 + \delta_2 + \delta_3 = 0.6 - 0.5 - 3.08 = -2.98 \) мм.

Эпюры:

• Эпюра продольных сил: На участке 1 — \( +8 \) кН; на участке 2 — \( -5 \) кН; на участке 3 — \( -22 \) кН.
• Эпюра нормальных напряжений: На участке 1 — \( +40 \) МПа; на участке 2 — \( -20 \) МПа; на участке 3 — \( -88 \) МПа.

Примечание: Для построения эпюр необходимо использовать график с соответствующими значениями по оси абсцисс (длина бруса) и оси ординат (величина силы/напряжения).

Ответ: Перемещение свободного конца бруса составляет \( -2.98 \) мм (сжатие).