Построить график функции (451-452). 1) y = x³ - 3x² + 4; 2) y = 2 + 3x - x²; 3) y = -x³ + 4x² - 4x; 4) y = x³ + 6x² + 9x.

Решение:

Для построения графиков будем анализировать каждую функцию отдельно, находя её критические точки, промежутки возрастания/убывания и точки экстремума.

1) \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \)

1. Находим первую производную: \( y' = 3x^2 - 6x \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
3. Определяем знаки производной на интервалах:
• При \( x < 0 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• При \( 0 < x < 2 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 2 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
4. Находим значения функции в критических точках:
• \( y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \) (точка максимума).
• \( y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \) (точка минимума).

2) \( y = 2 + 3x - x^2 \)

1. Находим первую производную: \( y' = 3 - 2x \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( 3 - 2x = 0 \implies x = 1.5 \). Критическая точка: \( x = 1.5 \).
3. Определяем знаки производной на интервалах:
• При \( x < 1.5 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 1.5 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
4. Находим значение функции в критической точке:
• \( y(1.5) = 2 + 3(1.5) - (1.5)^2 = 2 + 4.5 - 2.25 = 4.25 \) (точка максимума).

3) \( y = -x^3 + 4x^2 - 4x \)

1. Находим первую производную: \( y' = -3x^2 + 8x - 4 \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( -3x^2 + 8x - 4 = 0 \). Умножим на -1: \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \).
3. Найдём дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 · 3 · 4 = 64 - 48 = 16 \). \( \sqrt{D} = 4 \).
4. Находим корни: \( x_1 = \frac{8 - 4}{2 · 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) и \( x_2 = \frac{8 + 4}{2 · 3} = \frac{12}{6} = 2 \). Критические точки: \( x = 2/3 \) и \( x = 2 \).
5. Определяем знаки производной на интервалах (парабола \( -3x^2 + 8x - 4 \) ветвями вниз):
• При \( x < 2/3 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
• При \( 2/3 < x < 2 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 2 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
6. Находим значения функции в критических точках:
• \( y(2/3) = -(2/3)^3 + 4(2/3)^2 - 4(2/3) = -8/27 + 16/9 - 8/3 = (-8 + 48 - 72) / 27 = -32/27 \) (точка минимума).
• \( y(2) = -(2)^3 + 4(2)^2 - 4(2) = -8 + 16 - 8 = 0 \) (точка максимума).

4) \( y = x^3 + 6x^2 + 9x \)

1. Находим первую производную: \( y' = 3x^2 + 12x + 9 \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( 3x^2 + 12x + 9 = 0 \). Разделим на 3: \( x^2 + 4x + 3 = 0 \).
3. Найдём дискриминант: \( D = 4^2 - 4 · 1 · 3 = 16 - 12 = 4 \). \( \sqrt{D} = 2 \).
4. Находим корни: \( x_1 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \). Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = -1 \).
5. Определяем знаки производной на интервалах (парабола \( 3x^2 + 12x + 9 \) ветвями вверх):
• При \( x < -3 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• При \( -3 < x < -1 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > -1 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
6. Находим значения функции в критических точках:
• \( y(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0 \) (точка максимума).
• \( y(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4 \) (точка минимума).